[論文レビュー] Autoregressive Models for Matrix-Valued Time Series

Rong Chen, Xiao Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、前の行列を2つの係数行列を用いた双線形変換として条件付き平均をモデル化することにより、時系列データの行列構造を保持する行列自己回帰モデル（MAR）を提案する。この手法は、ベクトル自己回帰モデルと比較して顕著な次元削減と解釈可能性の向上を達成しており、推論および予測のための理論的性質と推定手法が確立されている。

ABSTRACT

In finance, economics and many other fields, observations in a matrix form are often generated over time. For example, a set of key economic indicators are regularly reported in different countries every quarter. The observations at each quarter neatly form a matrix and are observed over many consecutive quarters. Dynamic transport networks with observations generated on the edges can be formed as a matrix observed over time. Although it is natural to turn the matrix observations into a long vector, and then use the standard vector time series models for analysis, it is often the case that the columns and rows of the matrix represent different types of structures that are closely interplayed. In this paper we follow the autoregressive structure for modeling time series and propose a novel matrix autoregressive model in a bilinear form that maintains and utilizes the matrix structure to achieve a greater dimensional reduction, as well as more interpretable results. Probabilistic properties of the models are investigated. Estimation procedures with their theoretical properties are presented and demonstrated with simulated and real examples.

研究の動機と目的

• 行列時系列データに適用されるベクトル自己回帰モデルの限界を解決すること。特に、行列をベクトルに平坦化することで構造的情報を損なう点に焦点を当てる。
• 経済指標の国別推移やネットワークエッジ観測など、行列構造時系列データに内在する行および列の構造を保持する、効率的なモデルを構築すること。
• 2つの係数行列がそれぞれ行および列のダイナミクスに対応する統計的に解釈可能なモデルを提供することにより、モデルの解釈可能性を向上させること。
• さまざまな誤差共分散構造のもとで、推定量の漸近的分布を含むモデルの理論的性質を確立すること。
• シミュレーションおよび実データを通じて、モデルの性能を実証すること。具体的には、予測のためのアウトオブサンプル評価と残差診断を実施する。

提案手法

• 1次行列自己回帰モデル $\mathbf{X}_t = \mathbf{A}\mathbf{X}_{t-1}\mathbf{B}' + \mathbf{E}_t$ を提案する。ここで $\mathbf{X}_t$ は時刻 $t$ における $m \times n$ 行列であり、$\mathbf{A}, \mathbf{B}$ は係数行列である。
• 複数の遅れ行列を組み込むことで、高次自己回帰構造（MAR(p)）への拡張を実施する。
• 誤差共分散構造の仮定に応じて適した3つの推定手法（最小二乗法（LSE）、最尤法（MLE）、最近接クロネッカー積射影（PROJ））を採用する。
• 正則性条件の下で推定量の漸近的分布を導出し、統計的推論および仮説検定を可能にする。
• 誤差共分散行列にクロネッカー積構造を適用することで、非構造的形に比べてパラメータ数を削減する。
• 実経済データを用いたローリング予測評価により、MAR(1)の性能を単変量AR(1)、AR(2)、スタックドVAR(1)モデルと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双線形行列自己回帰モデルは、ベクトル自己回帰モデルと比較して、行列時系列データにおける行と列の間の構造的関係をより効果的に保持できるか？
• RQ2 実経済データにおいて、提案されたMAR(1)モデルは単変量ARモデルおよびスタックドベクトル自己回帰モデルと比較して予測性能に優れているか？
• RQ3 特に漸近的正規性の観点から、異なる誤差共分散仮定のもとでの推定量の理論的性質は何か？
• RQ4 解釈可能性と予測精度を維持しつつ、モデルがどの程度次元削減を達成できるか？
• RQ5 モデルは高次自己回帰に拡張可能か、あるいは金融・経済応用におけるボラティリティモデリングに適応可能か？

主な発見

• 最小二乗法推定を用いたMAR(1)モデルは、アウトオブサンプル予測誤差平方和が141.82を示し、スタックドVAR(1)モデル（296.62）を上回るが、個別AR(1)モデル（136.00）にわずかに劣る結果となった。
• 最尤法推定を用いたMAR(1)モデルは、テストされた3つの推定手法の中で予測誤差が最小（136.69）を記録し、優れた性能を示した。
• 自己相関関数（ACF）プロットおよび残差プロットによる残差診断において、有意な自己相関は認められず、モデルが動的構造を適切に捉えていることを支持する。
• モデルは顕著な次元削減を実現した。スタックドVARモデルが $m^2n^2$ パラメータを要するのに対し、MAR(1)は僅か $m^2 + n^2 - 1$ パラメータで十分である。
• 正則性条件の下で推定量の漸近的分布が導出され、有効な統計的推論が可能となった。
• 予測期間の後半3年間において、MAR(1)モデルは単変量AR(1)モデルを上回る性能を示し、初期の劣化にもかかわらず時間経過とともにより高いロバストネスを示した。