[論文レビュー] Autoregressive Models for Variance Matrices: Stationary Inverse Wishart Processes

Emily B. Fox, Mike West|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 32被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、逆ウィッシュァート分布を用いた、分散行列のための新しい定常的で1次の自己回帰モデルのクラスを導入し、多次元確率的ボラティリティにおける柔軟で取り扱いやすいベイズ推論を可能にする。この手法は、MCMCフレームワーク内に特化したイノベーションサンプラーを採用しており、高次元時系列における時変共分散推定において、効率的なフィルタリングと計算スケーラビリティの向上を達成している。実際のEEGデータ解析を通じてその有効性が示された。

ABSTRACT

We introduce and explore a new class of stationary time series models for variance matrices based on a constructive definition exploiting inverse Wishart distribution theory. The main class of models explored is a novel class of stationary, first-order autoregressive (AR) processes on the cone of positive semi-definite matrices. Aspects of the theory and structure of these new models for multivariate "volatility" processes are described in detail and exemplified. We then develop approaches to model fitting via Bayesian simulation-based computations, creating a custom filtering method that relies on an efficient innovations sampler. An example is then provided in analysis of a multivariate electroencephalogram (EEG) time series in neurological studies. We conclude by discussing potential further developments of higher-order AR models and a number of connections with prior approaches.

研究の動機と目的

• 理論的に取り扱いやすく、計算上も実行可能な分散行列のための新しい定常的で1次自己回帰モデルのクラスの開発を目的とする。
• 特に非定常性と高次拡張における計算の非実行可能性という点で限界を示す既存の多次元ボラティリティのための状態空間モデルの課題に対処することを目的とする。
• 前向きフィルタリングと後向きサンプリングに基づく、新たなMCMCサンプリング戦略を用いて、時変共分散行列に対するベイズ推論を可能にすることを目的とする。
• 本モデルの実世界への応用における有効性を、多次元EEG時系列解析のような応用事例を通じて示すことを目的とする。
• 提案された逆ウィッシュァート自己回帰フレームワークにおける定常性、可逆性、および条件付きモーメントといった理論的性質の探求を目的とする。

提案手法

• 正定値行列の錐上で、逆ウィッシュァート条件付き分布を用いた1次自己回帰過程を提案する。
• 状態空間構造を定義し、分散行列が $ \Sigma_t = \Upsilon_t \Sigma_{t-1} \Upsilon_t^\prime + \Psi_t $ と進化するとする。ここで $ \Psi_t \sim \text{IW}(n+q+2, nV) $ かつ $ \Upsilon_t \sim N(F, (nS)^{-1}) $ である。
• グローバルな拒否ステップを回避するため、行列イノベーション過程を用いた前向きフィルタリングと後向きサンプリング（FFBS）に基づくベイズフィルタリングアルゴリズムを開発する。
• 逆ウィッシュァート族における条件付き共役性を活用し、潜在変数によるデータ拡張を実施することで、効率的なMCMCサンプリングを可能にする。
• 標準的な多変量正規分布および逆ウィッシュァート理論を用いて、自己回帰パラメータおよび分散行列の条件付き後erior分布を導出する。
• 2次自己回帰AR(2)モデルへの拡張を図り、条件付き期待値と理論的モーメントを導出する。$ n \to \infty $ における漸近的挙動も検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正定値行列の空間上で逆ウィッシュァート分布を用いて、定常的で1次の自己回帰モデルを構築することは可能か？
• RQ2 このようなモデルは、高次元時系列における時変共分散推定に向けた効率的ベイズ計算をどのように支援できるか？
• RQ3 提案されたIW-AR(1)プロセスの理論的性質、たとえば定常性、可逆性、および条件付きモーメントは何か？
• RQ4 提案されたイノベーションベースのMCMCサンプラーは、標準的な拒否ベースの手法と比較して、受容率およびスケーラビリティの点でどのように異なるか？
• RQ5 理論的取り扱いやすさと計算上の実行可能性を保ちつつ、モデルを高次自己回帰構造に拡張することは可能か？

主な発見

• 提案されたIW-AR(1)プロセスは定常的であり、可逆性や明確に定義された条件付きモーメントといった望ましい理論的性質を有する。
• イノベーションベースのMCMCサンプラーは、グローバル拒否法で見られる受容率の指数的減少を回避でき、長期間の時系列におけるスケーラブルな推論を可能にする。
• $ n \to \infty $ の極限において、$ \Delta_{t-1} $ を与えたときの $ \Sigma_t $ の条件付き平均は、$ \Sigma_{t-1} $、$ S $、および $ \Upsilon_{t-1} $ を含む補正項の線形結合に収束し、長期的な安定性を保証する。
• 本モデルは、多次元EEGデータにおける時変ボラティリティダイナミクスを効果的に捉えており、神経科学的時系列解析における実用的有効性を示している。
• AR(2)モデルへの理論的拡張が得られ、条件付き期待値が $ \Sigma_{t-1} $ と $ \Psi_{t-1} $ の両方に依存することが示され、トレースおよび行列演算を含む取り扱いやすい表現が得られた。
• 共役事前分布および多変量正規分布理論を用いて、自己回帰パラメータの周辺尤度および後erior分布の効率的計算が可能である。