[論文レビュー] Autoresonance energy transfer versus localization in weakly coupled oscillators

Agnessa Kovaleva, Leonid I. Manevitch|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Mechanical and Optical Resonators参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱く結合された線形および非線形（Duffing）振動子におけるエネルギー移動ダイナミクスを、2つの励起状況の下で調査する：（1）ゆっくり減少する剛性を有する非線形振動子に一定周波数の力が作用する場合、（2）固定された非線形振動子に周波数が変化する力が作用する場合。解析的および数値的に、第一の状況では両方の振動子に自己共鳴（AR）が出現することを示し、第二の状況ではARが非線形振動子に限定され、線形振動子は有界な振動のみを示すことから、異なる周波数デチューニング機構におけるエネルギー局在の根本的な違いが明らかになる。

ABSTRACT

In this paper we investigate the distribution of energy between weakly coupled linear and nonlinear oscillators in a two-degree-of-freedom (2D) system. Two classes of problems are studied analytically and numerically: (1) a periodic force with constant frequency is applied to the nonlinear (Duffing) oscillator with slowly time-decreasing linear stiffness; (2) the time-independent nonlinear oscillator is excited by a force with slowly increasing frequency. In both cases, stiffness of the attached linear oscillator and linear coupling remain constant, and the system is initially engaged in resonance. This paper demonstrates that in the systems of the first type autoresonance (AR) occurs in both oscillators while in systems of the second type AR occurs only in the excited nonlinear oscillator but the coupled linear oscillator exhibits small bounded oscillations. Considering slow detuning, we obtain explicit asymptotic approximations for the amplitudes and the phases of oscillations close to exact (numerical) results.

研究の動機と目的

• 緩やかにパrametricデチューニングされる弱く結合された線形および非線形振動子間のエネルギー移動ダイナミクスを分析すること。
• 時間的に変化する剛性と周波数が変化する励起という2つの異なる励起状況における自己共鳴（AR）励起メカニズムを比較すること。
• ARが両方の振動子に発現するか、非線形振動子に局在化するかの条件を特定すること。
• 複数スケール漸近解析を用いて、数値結果とよく一致する振幅および位相の漸近的近似を導出すること。

提案手法

• Duffing型非線形振動子と線形振動子を一定の線形剛性で結合した2自由度系を定式化する。
• 外部周期的力として、第一の場合はゆっくり減少する周波数、第二の場合はゆっくり増加する周波数を適用する。
• システムパラメータ（例：剛性）のゆっくりとした時間スケールでの変調を導入し、初期共鳴からの徐徐なデチューニングをモデル化する。
• 複数スケール漸近解析を用いて、振動の振幅および位相の明示的近似を導出する。
• 解析的結果の正確性と収束性を確認するため、数値シミュレーションと照合する。
• 異なる励起プロトコル下での両振動子における自己共鳴の発生および持続性を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、非線形振動子と線形振動子の両方に自己共鳴が同時に発生するのか？
• RQ2 剛性の変化によるデチューニングと力の周波数スイープによるデチューニングの違いが、自己共鳴エネルギーの局在にどのように影響するか？
• RQ3 漸近的近似が、弱く結合された非線形系における振幅および位相の時間発展をどの程度正確に予測できるか？
• RQ4 周波数が変化する励起の下で、非線形振動子が自己共鳴に進入する際、なぜ線形振動子は有界な振動にとどまるのか？
• RQ5 エネルギー移動が両方に広がる（両方でAR）か、非線形振動子に局在化する（ARは非線形振動子にのみ）かを決定する要因は何か？

主な発見

• 非線形振動子の剛性がゆっくり減少する場合、自己共鳴は非線形振動子と線形振動子の両方に発生し、線形モードへの持続的なエネルギー移動が生じる。
• 外部力の周波数がゆっくり増加する（周波数スイープ）場合、自己共鳴は非線形振動子でのみ観察され、線形振動子は小さな有界な振動にとどまる。
• 複数スケール解析により導出した振幅および位相の漸近的近似は、数値シミュレーションと非常に良好に一致する。
• デチューニングの種類に応じて、エネルギー局在行動に急激な転移が生じる：剛性の変化は両モードにARを可能にし、周波数スイープはARを非線形振動子に局在化させる。
• 解析的枠組みは、弱い結合およびゆっくりとしたパrametric変化の下でも、非線形ダイナミクスと共鳴捕獲現象を的確に捉えている。
• 結果から、デチューニングのメカニズム—システムパラメータの変化か外部励起周波数のスイープか—が、自己共鳴エネルギーの空間的局在に顕著に影響することが示された。