[論文レビュー] Autosolvability of halting problem instances for instruction sequences

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、チューリングマシンに類似する動作をモデル化する命令列を用いたプログラム代数枠組みにおいて、停止問題のインスタンスの自己解法可能性（autosolvability）を調査する。一部の停止問題インスタンスは決定可能であるが、すべてのインスタンスを1つのプログラムが解けるという要件は論理的矛盾を引き起こし、一般の停止問題の不決定性がプログラム中心の視点から再確認される。

ABSTRACT

We position Turing's result regarding the undecidability of the halting problem as a result about programs rather than machines. The mere requirement that a program of a certain kind must solve the halting problem for all programs of that kind leads to a contradiction in the case of a recent unsolvability result regarding the halting problem for programs. In this paper, we investigate this autosolvability requirement in a setting in which programs take the form of instruction sequences.

研究の動機と目的

• チューリングの停止問題に関する不決定性結果を、機械ではなくプログラムの性質として再定式化すること。
• 同じ種類のプログラムがすべての同種プログラムの停止問題を解けるかどうか、すなわち『自己解法可能性』（autosolvability）が可能かどうかを、命令列モデル内で分析すること。
• チューリングマシンのテープに類似した機能ユニットが計算および停止動作をモデル化する役割を果たす様子を調査すること。
• プログラム代数の意味論下での停止問題インスタンスにおける決定可能性と不決定性の境界を明確にすること。

提案手法

• 停止問題のインスタンスをモデル化するため、ブール値の終了命令（!t, !f）とジャンプ命令を備えたプログラム記法 PGLBbt を使用する。
• 基本スレッド代数を用いて、実行下での命令列の振る舞いを形式的に定義する。
• 外部デバイス（例えばチューリングマシンのテープ）をモデル化するための機能ユニットを導入し、命令列との相互作用を可能にする。
• 基本スレッド代数に、特にテスト命令およびジャンプ命令の処理に適したサービスインタラクションのための演算子を拡張する。
• 対角線論法を用いて、特定の停止問題インスタンスが、同種のいかなるプログラムでも自己解法できないことを証明する。
• 特定の機能ユニットの意味論下で、複雑な命令列を有限かつ同等な形に還元することにより、決定可能性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのプログラムが、自身と同じ種類のすべてのプログラムの停止問題を解けるか、すなわち自己解法可能性（autosolvability）は可能か？
• RQ2 命令列プログラムにおいて、停止問題がどのような条件下で決定可能になるか？
• RQ3 チューリングマシンのテープをモデル化する機能ユニットは、命令列の解法可能性および挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 プログラムベースの停止問題の文脈において、対角線論法と決定可能性の関係は何か？
• RQ5 停止問題を固定された命令数に制限することは可能であり、そのような場合に決定可能になるか？

主な発見

• 機能ユニット H = {(dup, Dup)} に対して、言語 L(f.{dup}) の停止問題は、対角線論法による矛盾を示すことで、潜在的な自己解法可能性を有さないことが示された。
• 自己解法可能性に欠けるにもかかわらず、L(f.{dup}) の停止問題は決定可能である。これは、プログラムが終了可能性を確認できる有限形式に還元可能であるためである。
• 本稿では、対角線論法と決定可能性が独立した現象であることを示した。個々のインスタンスが決定可能であっても、自己解法性の制約により問題全体が不決定的になることがある。
• 機能ユニットの使用により、外部デバイスの正確なモデル化が可能となり、プログラムの挙動および停止条件の形式的分析が可能になった。
• 従来の結果を強化し、不決定性がモデル自体に起因するのではなく、プログラムの普遍性に起因する自己言及的要件に起因することを示した。
• 制限されたリソース下での停止問題（bounded halting problem）は、今後の研究における有望な方向性であり、リソース制約下で決定可能になる可能性を示唆している。