[論文レビュー] Average bounds for the $\ell$-torsion in class groups of cyclic extensions

Christopher Frei, Martin Widmer|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の数体の巡回拡大における $\varepsilon$- torsion に対する、条件なしで非自明な上界を確立し、特定の族に属するほとんどすべての数体において、$\varepsilon$- torsion が判別式の任意のべきよりも遅く成長することを証明する。主な進展は、GRH に基づく従来の条件付き結果を、高さに基づく数え上げ法とスieve 法を用いて、条件なしの設定に拡張したことである。これにより、任意に大きな次数の族において、自明な境界を上回る改善が達成された。

ABSTRACT

For all positive integers $\ell$, we prove non-trivial bounds for the $\ell$-torsion in the class group of $K$, which hold for almost all number fields $K$ in certain families of cyclic extensions of arbitrarily large degree. In particular, such bounds hold for almost all cyclic degree-$p$-extensions of $F$, where $F$ is an arbitrary number field and $p$ is any prime for which $F$ and the $p$-th cyclotomic field are linearly disjoint. Along the way, we prove precise asymptotic counting results for the fields of bounded discriminant in our families with prescribed splitting behavior at finitely many primes.

研究の動機と目的

• 数体 $K$ の巡回拡大族における、類群の $\varepsilon$- torsion 部分群 $\mathrm{Cl}_K[\ell]$ に対する、条件なしで非自明な上界を確立すること。
• 一般化されたリーマン予想（GRH）の下で得られた従来の結果を、任意に大きな次数の巡回拡大族について、条件なしの設定に拡張すること。
• 特定の族に属するほとんどすべての数体において、$\varepsilon$- torsion が $D_K^{1/2 - \min\{\gamma/\ell, \tilde{\delta}_0\} + \varepsilon}$ で有界であることを証明し、自明な境界を改善すること。
• 有限個の素数における指定された分解型を持つ、有界判別式の数体の正確な漸近的数え上げ結果を導出し、スieve 法の適用を可能にすること。
• 特に、中間体が制御された族において、自明な境界に対する改善が非自明であり、定量的に強化可能であることを示すこと。

提案手法

• Mahler の測度と係数ノルムを用いた境界を活用し、巡回拡大族における有界高さの代数的整数の個数を推定する高さに基づく数え上げ法を用いる。
• 判別式ゼータ関数の contour 積分を適用し、有限個の素数における指定された分解型と有界判別式を持つ数体の個数に対する漸近的推定を得る。
• Ellenberg, Pierce, および Wood の Chebyshev スieve 技法を、巡回拡大族に適応し、数え上げ結果を類群の $\varepsilon$- torsion に対する境界に転送する。
• 幾何的数論と体の算術的性質を結びつけるために、$\eta(K/F) \leq D_K^\gamma$ のような精緻な高さ条件を導入し、類群の大きさを制御する。
• 小素数での分解に関する命題 4.2 と漸近的数え上げを組み合わせ、例外的集合の密度におけるべきの改善を可能にする誤差項を導出する。
• Schanuel の定理と有界高さの多項式の個数に関する境界を用い、$N_H(P_{\mathscr{F}}, X) \ll_{n,m} X^{n+1}$ を確立する。これは、主定理における最終的な境界を導く上で不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に大きな次数の巡回拡大族に対して、類群における $\varepsilon$- torsion に対する非自明で条件なしの上界を確立できるか。
• RQ2 Ellenberg と Venkatesh が GRH に依存して得た境界を、このような族のほとんどすべての数体に対して、条件なしでどの程度改善できるか。
• RQ3 小素数での分解と制御された高さの成長が、大きな $\varepsilon$- torsion を持つ数体の密度にどのように影響するか。
• RQ4 中間体が制御された族において、次数 $n$ とパrameter $\ell$ の観点から、自明な境界に対する改善をどのように定量的に表現できるか。
• RQ5 巡回拡大族にどのような条件を課すと、高さが有界な数体の個数が十分にゆっくり増加し、スieve 法におけるべきの改善誤差項を可能にするか。

主な発見

• 任意の数体 $F$ と素数 $p$ に対して、$F$ と $p$- 異素数体が線形独立であるとき、$F$ 上の巡回 $p$- 次拡大のほとんどすべての数体 $K$ に対して、$\varepsilon$- torsion は $D_K^{1/2 - \min\{\gamma/\ell, \tilde{\delta}_0\} + \varepsilon}$ で有界である。ここで $\gamma < 1/(p+1)$ である。
• 本稿は、$\mathscr{F} = \mathscr{T}_{F,n}$ に対して、$D_K \leq X$ かつ $\eta(K/F) \leq D_K^\gamma$ を満たす $K \in \mathscr{F}$ の個数が $O_{\mathscr{F},\lambda}(X^{\lambda\gamma})$ であることを確立した。これにより、Chebyshev スieve を用いて例外集合を制御できる。
• $\gamma$ が $1/(n+1)$ に近い値に選ばれ、かつ $\ell > 1/(\tilde{\delta}_0(n+1))$ であるとき、$\mathscr{F}$ に属する 100% の数体 $K$ に対して、$\#\mathrm{Cl}_K[\ell] \ll D_K^{1/2 - \min\{\gamma/\ell, \tilde{\delta}_0\} + \varepsilon}$ が成り立つ。
• 本手法により、自明な境界 $D_K^{1/2 + \varepsilon}$ よりも非自明な改善が達成され、$D_K$ の指数が $\min\{\gamma/\ell, \tilde{\delta}_0\}$ だけ減少する。これは、十分に大きな $\ell$ に対して正である。
• 中間体が $\mathbb{Q}$ 上で次数 $e$ の体をもつ族 $\mathscr{F}_{\mathbb{Q},n}(e)$ に対して、境界は $D_K^{1/2 - \min\{1/(\ell(e+n/e)), \tilde{\delta}_0\} + \varepsilon}$ に改善され、$n = e^2$ のとき $n$ に関するより良い減衰率が得られる。
• 本稿は、全族 $\mathscr{F}_{F,n}$ に対して、$N_H(P_{\mathscr{F}}, X) \ll X^\lambda$ かつ $\lambda < 2$ となるような成長条件が成り立たないことを示しているが、中間体が制御された部分族ではこのような境界が可能であり、より強い結果を得られる。