[論文レビュー] Average-case hardness of estimating probabilities of random quantum circuits with a linear scaling in the error exponent

Hari Krovi|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハールランダム、p=1 QAOA、およびランダムIQP回路を含むランダム量子回路の出力確率を古典的に近似する問題について、2−O(m)（ハール回路の場合）および2−O(n)（QAOAおよびIQP回路の場合）の加法的誤差境界下でcoC=P-hardであることを確立している。著者らは、切り捨てられたテイラー級数補間と改善されたロバスト多項式再構成を用いることで、誤差指数に対して線形スケーリングを達成し、先行研究を強化し、効率的な古典的シミュレーションが多項式階層を崩壊させることを示している。

ABSTRACT

We consider the hardness of computing additive approximations to output probabilities of random quantum circuits. We consider three random circuit families, namely, Haar random, $p=1$ QAOA, and random IQP circuits. Our results are as follows. For Haar random circuits with $m$ gates, we improve on prior results by showing $\mathsf{coC_=P}$ hardness of average-case additive approximations to an imprecision of $2^{-O(m)}$. Efficient classical simulation of such problems would imply the collapse of the polynomial hierarchy. For constant depth circuits i.e., when $m=O(n)$, this linear scaling in the exponent is within a constant of the scaling required to show hardness of sampling. Prior to our work, such a result was shown only for Boson Sampling in Bouland et al (2021). We also use recent results in polynomial interpolation to show $\mathsf{coC_=P}$ hardness under $\mathsf{BPP}$ reductions rather than $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reductions. This improves the results of prior work for Haar random circuits both in terms of the error scaling and the power of reductions. Next, we consider random $p=1$ QAOA and IQP circuits and show that in the average-case, it is $\mathsf{coC_=P}$ hard to approximate the output probability to within an additive error of $2^{-O(n)}$. For $p=1$ QAOA circuits, this work constitutes the first average-case hardness result for the problem of approximating output probabilities for random QAOA circuits, which include Sherrington-Kirkpatrick and Erdös-Renyi graphs. For IQP circuits, a consequence of our results is that approximating the Ising partition function with imaginary couplings to an additive error of $2^{-O(n)}$ is hard even in the average-case, which extends prior work on worst-case hardness of multiplicative approximation to Ising partition functions.

研究の動機と目的

• ランダム量子回路の出力確率を平均ケースで近似する問題の古典的困難性を確立すること。
• ハールランダム回路における加法的近似困難性の誤差スケーリングを、2−O(m log m)から2−O(m)に改善すること。
• p=1 QAOAおよびランダムIQP回路に対して、これまでのところ存在しなかった平均ケースの困難性を拡張すること。
• 最近の多項式補間の進展を活用して、BPPNPからBPPへの還元の複雑さを低減すること。
• 追加の予想なしに、虚数結合を伴うイジング分配関数の近似が平均ケースで困難であることを示すこと。

提案手法

• 出力確率を補間パラメータの関数として見たときの切り捨てられたテイラー級数を用い、次数O(m/log m)の低次多項式を構築する。
• 改善された誤差境界を備えたロバストBerlekamp-Welchアルゴリズムを適用し、ノイズのある評価値から多項式を再構成する。
• 区間全体にわたる一様近似を保証するため、チェビシェフ分布の補間点を用いる。
• 最近の多項式補間の結果を活用して、ロバスト再構成ステップにおける必要な計算能力をBPPNPからBPPに削減する。
• 補間中にユニタリ進化が保存されることを活用し、量子回路構造を維持する。
• 補間スキームのロバスト性を応用し、加法的誤差δ ≤ 2−O(m)の古典的アルゴリズムがcoC=P-hard問題を解くのに使用できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム量子回路の古典的困難性における加法的誤差スケーリングを、2−O(m log m)から2−O(m)に改善できるか？
• RQ2 p=1 QAOA回路の出力確率近似における平均ケースの困難性は証明可能か？
• RQ3 追加の予想なしに、虚数結合を伴うイジング分配関数の近似が困難であることを確立できるか？
• RQ4 証明で用いられるロバスト多項式再構成をBPPNPではなくBPPで実装できるか？
• RQ5 改善された誤差スケーリングは、サンプリングにおける量子優位性のより強い証拠を示唆するか？

主な発見

• mゲートをもつハールランダム回路について、誤差2−O(m)の範囲で古典的加法的近似がcoC=P-hardである。これは、効率的な古典的シミュレーションが多項式階層を崩壊させることを意味する。
• 2−O(m)の誤差スケーリングは、出力確率の切り捨てられたテイラー級数補間により達成され、多項式次数がO(m/log m)にまで低下した。
• ロバストBerlekamp-WelchアルゴリズムはBPPNPではなくBPPで動作するよう改善され、還元のパワーが強化された。
• p=1 QAOA回路について、出力確率近似における平均ケースの困難性に関する本稿が初めての結果であり、誤差2−O(n)の下で成り立つ。
• ランダムIQP回路について、本結果は虚数結合を伴うイジング分配関数の近似が平均ケースでcoC=P-hardであることを示し、追加の予想を必要としない。
• 本稿は、QAOAおよびIQP回路について2−O(n)の誤差スケーリングが古典的困難性を示すのに十分であり、指数部の定数因子を除いてタイトであることを示している。