[論文レビュー] Average-Case Quantum Advantage with Shallow Circuits

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、浅い量子回路を用いて平均ケースにおける量子優位性を確立する。定数深さの量子回路（有界ファンインゲートを用いる）が解ける計算的関係を構築し、一方で、入力の非負値な割合に対してこれを解く任意の古典的有界ファンイン回路は対数的深さを必要とすることを証明する。主な結果は、従来の最悪ケースや制限付き平均ケース結果を強化する、条件なしの平均ケース分離である。

ABSTRACT

Recently Bravyi, Gosset and König (Science 2018) proved an unconditional separation between the computational powers of small-depth quantum and classical circuits for a relation. In this paper we show a similar separation in the average-case setting that gives stronger evidence of the superiority of small-depth quantum computation: we construct a computational task that can be solved on all inputs by a quantum circuit of constant depth with bounded-fanin gates (a "shallow" quantum circuit) and show that any classical circuit with bounded-fanin gates solving this problem on a non-negligible fraction of the inputs must have logarithmic depth. Our results are obtained by introducing a technique to create quantum states exhibiting global quantum correlations from any graph, via a construction that we call the \emph{extended graph}. Similar results have been very recently (and independently) obtained by Coudron, Stark and Vidick (arXiv:1810.04233), and Bene Watts, Kothari, Schaeffer and Tal (STOC 2019).

研究の動機と目的

• 浅い量子回路における平均ケースの難易度を証明することで、より強い形の量子優位性を確立すること。
• 浅い量子回路が最悪ケースや制限付き入力設定を超えて、平均ケース設定でも優位性を示すかどうかという未解決の問いに答えること。
• 定数深さの量子回路がすべての入力に対して正確に解ける計算的関係を構築すること。一方で、有界ファンインゲートを用いた古典的回路が、入力の非負値な割合に対して解けるには、対数的深さを必要とすることを示すこと。
• 入力分布に制限を設けないより強固で一般的な量子優位性の証拠を提供すること。

提案手法

• 著者らは、グラフ構造に基づく量子状態の構築から導かれる、入力サイズ $ m = \Theta(d^6) $ および出力サイズ $ n = \Theta(d^6) $ の基本的関係 $ R_d $ を定義する。
• 量子優位性を強化するために、$ t \geq m^{27/8} $ となるように選ばれた $ t $ を用いて、テンソル積構成 $ \mathcal{R} = R_d^{\times t} $ を用いる。
• 主な技術的ツールとして、出力状態におけるグローバルな量子相関を可能にする「拡張グラフ」の構築を用い、量子回路が関係を確実に解けるようにする。
• 古典的回路の深さ下界を証明する際、配線依存関係を分析する。情報的に分離された回路コピーの大きな独立集合を特定するグラフ理論的議論を用いる。
• 個々のコピーの失敗確率に基づく集中性の議論を適用し、全体の成功確率が独立コピーの数に従って指数的に減少することを示す。
• 最終的な下界は、深さ制約と成功確率の指数的減少を組み合わせることで得られ、$ (1 - \alpha)^{\sqrt{M}} $ となる。これは超指数的になく、非常に小さい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界ファンインゲートを用いた浅い量子回路に対して、条件なしの平均ケースにおける量子優位性を示せるか？
• RQ2 制限付きまたは最悪ケースの入力ではなく、ランダムな入力に対して量子優位性が維持されるか？
• RQ3 すべての入力に対して定数深さの量子回路が正確に解ける計算的関係を構築できるか？ 一方で、有界ファンインゲートを用いた任意の古典的回路が、入力の非負値な割合に対して解けるには、対数的深さを必要とするか？
• RQ4 量子回路が持つ、古典的回路が低深さで再現できないグローバル相関を可能にする構造的性質は何か？

主な発見

• 成功確率が100%である定数深さの量子回路（有界ファンインゲートを用いる）が、$ \mathcal{R} \subseteq \{0,1\}^M \times \{0,1\}^N $ という計算的関係を解けるように構築された。
• 任意の有界ファンインゲートを用いた確率的古典的回路が、$ \mathcal{R} $ を入力の非負値な割合に対して解くには、深さ $ \Omega(\log M) $ が必要であり、成功確率が $ 1/\exp(\gamma \sqrt{M}) $ であっても同様に成り立つ（$ \gamma > 0 $ とする）。
• 対数未満の深さの古典的回路の成功確率は、$ \sqrt{M} $ に従って指数的に減少し、ある $ \alpha > 0 $ に対して $ (1 - \alpha)^{\sqrt{M}} $ で上界が与えられる。
• 本構築は、任意の入力グラフからグローバルな量子相関を生成する「拡張グラフ」を用いた新しい量子状態生成法に依存している。
• 結果は、すべての入力 $ \{0,1\}^M $ に対する一様分布に対して成り立ち、部分集合に制限を設けない。これにより、従来の平均ケース結果を強化する。
• 下界は条件なしであり、多項式階層の崩壊などの計算複雑性的仮定に依存しない。