[論文レビュー] Average Distance, Diameter, and Clustering in Social Networks with Homophily

Matthew O. Jackson|ArXiv.org|Oct 15, 2008

Complex Network Analysis Techniques参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ノードのタイプに基づく非一様なリンク確率を有するランダムネットワークモデルを提案し、同質性のネットワーク構造への影響を検討する。同質性を高めても（ノードが自身のタイプ内でのリンクを好むようになっても）、平均距離および直径は漸近的に変化せず、クラスタリングは顕著に増加する。これは、同質性が小規模世界特性を変化させることなくネットワークのクラスタリングを形作ることを示している。

ABSTRACT

I examine a random network model where nodes are categorized by type and linking probabilities can differ across types. I show that as homophily increases (so that the probability to link to other nodes of the same type increases and the probability of linking to nodes of some other types decreases) the average distance and diameter of the network are unchanged, while the average clustering in the network increases.

研究の動機と目的

• 同質性（類似する相手への好ましさ）が平均距離、直径、クラスタリングといったコアなネットワーク構造的性質に与える影響を理解すること。
• 固定された次数系列を持つランダムネットワークにおいて、同質性を高めるとパスが長くなったり直径が大きくなったりするかどうかを分析すること。
• 同質性が平均距離が小さく保たれる状態で非自明なクラスタリングを生成できるかどうかを特定すること。
• 平均次数と接続性が一定であるにもかかわらず、同質性がネットワーク構造に与える影響を引き起こす条件を明確にすること。

提案手法

• ノードがK種類に分割され、リンク確率がノードのタイプに依存するランダムネットワークモデルを構築する。
• 次数系列 {d₁,…,dₙ} を用い、ノードに期待次数を割り当て、タイプ間およびタイプ内リンク確率は行列 H(n) で制御する。
• 平均距離は、すべての連結ノード対における最短路長の平均として定義され、直径は最大の最短路長として定義される。
• 平均次数 → ∞ を仮定して、さまざまな同質性レベルにおける平均距離および直径の漸近的境界を導出するために漸近的解析を用いる。
• クラスタリングは、ノードの隣接ノードのうち閉じた三つ組の割合として測定され、次数 ≥2 のすべてのノードに対して平均クラスタリングを計算する。
• 集中不等式および確率的境界（例：チェルノフの不等式）を用いて、次数およびパス長が高確率で期待値の周囲に集中することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された次数系列を持つランダムネットワークにおいて、同質性を高めると平均距離および直径が増加するか？
• RQ2 強い同質性を持つネットワークは、完全にランダムなネットワークと同等の小さな平均距離および直径を維持できるか？
• RQ3 どのような条件下で同質性がランダムネットワークに非自明なクラスタリングを生成するか？
• RQ4 クラスタリングがネットワークサイズの増大にもかかわらず0から離れて保たれる閾値または構造的条件は何か？
• RQ5 同質性は、特に低直径と高クラスタリングの共存という小規模世界的特性にどのように影響するか？

主な発見

• 同質性が高まる（タイプ内リンク確率が高くなり、タイプ間リンク確率が低くなる）につれ、ネットワークの平均距離および直径は漸近的に変化せず、タイプ内リンク確率がタイプ間リンク確率よりも任意に高くても変わらない。
• 平均距離はほとんど確実に (1+o(1)) log(n)/log(𝔼[d(n)]) に等しく、同じ期待次数を持つ一様ランダムネットワークの漸近的挙動と一致する。
• タイプ内リンクの相対的確率が任意に高くなる極端な状況でも、タイプ間のリンクが非消滅的割合で形成される限り、平均距離および直径は増加しない。
• 同質性はクラスタリングを顕著に増加させる：グループが平均次数に対して小さく、同質性が強い場合、平均クラスタリングは漸近的に0から離れて保たれる。
• 同質性が存在しないモデルでは、同じ期待次数のもとでクラスタリングは n → ∞ の際に0に近づくため、同質性がクラスタリングの主要因であることが示される。
• 結果は、同質的ネットワークがパス長を変化させることなく『小規模世界』的特徴（低直径と高クラスタリング）を示すことができることを確認している。