[論文レビュー] Average distance of random pure states from maximally entangled and coherent states

Kaifeng Bu, Uttam Singh+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Quantum Information and Cryptography被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3つの距離測度を用いて、ハール測度に従う純粋な量子状態が最大もつれ状態および最大もつれ状態からどれだけ離れているかを調査する。大スピン空間において、最大もつれ状態からの平均距離は非ゼロのままであるが、スケーリングされた $ l_1 $-ノルムのコherー二ンスは $ \pi/4 $ のまわりに集中しており、集中測度の原理による典型性が示されている。

ABSTRACT

It is well known that random bipartite pure states are typically maximally entangled within an arbitrarily small error. Showing that the marginals of random bipartite pure states are typically extremely close to the maximally mixed state, is a way to prove the above. However, a more direct way to prove the above is to estimate the distance of random bipartite pure states from the set of maximally entangled states. Here, we find the average distance between a random bipartite pure state and the set of maximally entanglement states as quantified by three different quantifiers of the distance and investigate the typical properties of the same. We then consider random pure states of a single quantum system and give an account of the typicality of the average $l_1$ norm of coherence for these states scaled by the maximum value of the $l_1$ norm of coherence. We also calculate the variance of the $l_1$ norm of coherence of random pure states to elaborate more on the typical nature of the scaled average $l_1$ norm of coherence. Moreover, We compute the distance of a random pure state from the set of maximally coherent states and obtain the average distance.

研究の動機と目的

• 3つの異なる距離測度を用いて、ハール分布に従う双粒子純粋状態と最大もつれ状態の集合との間の平均距離を特徴付ける。
• 特に最大可能コヒーレンスに対するスケーリングされた値に関して、単一系におけるランダムな純粋状態の $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの典型性を調査する。
• 高次元ヒルベルト空間における $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの分散を計算し、その集中行動を評価する。
• 相対エントロピーのコヒーレンスと比較することで、$ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの典型性を探索し、漸近的挙動の違いを強調する。
• $ \alpha $-古典的純度へと分析を拡張し、$ \alpha $ の値に応じて集中または発散することを示す。

提案手法

• 双粒子および単一クーディット系におけるランダムな純粋状態をサンプリングするためにハール測度を用いる。
• 最大もつれ状態からの距離を定量化するために、fidelity、トレース距離、Bures距離という3つの距離指標を用いる。
• 状態の対角成分の固有値のディリクレ分布にわたる積分を用いて、$ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの期待値と分散を導出する。
• リーヴィの補題を適用し、大 $ N $ の極限において、スケーリングされた $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスが $ \pi/4 $ のまわりに集中することを確立する。
• $ \alpha $-古典的純度 $ \mathbb{E}[\mathrm{Tr}((\psi^{(\mathrm{d})})^\alpha)] $ を計算し、$ \alpha \in (0,1) \cup (1,\infty) $ における分散を分析して、集中行動を決定する。
• ガンマ関数の恒等式およびディリクレ分布の性質を用いて、純粋状態の対角成分のモーメントを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる距離測度のもとで、ハールに従う双粒子純粋状態と最大もつれ状態の集合との間の平均距離は何か？
• RQ2 最大可能値でスケーリングされたランダムな純粋状態の $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスは、固定された値のまわりに集中するか？
• RQ3 高次元ヒルベルト空間における $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの分散はどのように振る舞い、これは典型性に何を意味するか？
• RQ4 大 $ N $ の極限において、$ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの典型的挙動は、相対エントロピーのコヒーレンスと比べてどう異なるか？
• RQ5 次元 $ N \to \infty $ のとき、ランダムな純粋状態の $ \alpha $-古典的純度は集中するか？もし集中するなら、どの $ \alpha $ 値のときか？

主な発見

• 大ヒルベルト空間の極限においても、ハールに従う双粒子純粋状態と最大もつれ状態の集合との間の平均距離は非ゼロのままであり、これらの距離測度のもとで、そのような状態は最大もつれ状態と漸近的に区別できないことを示している。
• スケーリングされた $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの期待値は $ \mathbb{E}[C_{l_1}(\psi)/C^{\max}_{l_1}] = \pi/4 \approx 0.785 $ であり、これは1未満であるため、典型的な状態は最大もつれではないことを示している。
• 次元 $ N \to \infty $ のとき、$ l_1 $-ノルムのコヒーレンスの分散は0に近づくため、スケーリングされた $ l_1 $-ノルムのコヒーレンスは $ \pi/4 $ のまわりに集中しており、集中測度の原理による典型性が示されている。
• $ \alpha > 1 $ の場合、$ \mathrm{Tr}[(\psi^{(\mathrm{d})})^\alpha] $ は次元 $ N \to \infty $ のとき0に集中する。これは、その量の分散が消えることによる。
• $ \alpha \in (0,1) $ の場合、$ \alpha $-古典的純度の分散は $ N \to \infty $ のとき発散するため、この領域では測度の集中が見られない。
• 相対エントロピーのコヒーレンスは大 $ N $ の極限で漸近的に1に近づくが、$ l_1 $-ノルムは $ \pi/4 $ に近づくのと対照的であり、コヒーレンス測度間の典型的挙動の根本的な違いを強調している。