[論文レビュー] Average mixing of continuous quantum walks

Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフ上の連続的量子ウォークにおける平均混合行列 $\u02c7{M}_X$ を定義し、その分析を行う。$H(t) = \exp(itA)$ および $A$ を隣接行列とするとき、$H(t) \circ H(-t)$ の時間平均として定義される。主な貢献は、$\u02c7{M}_X = \sum_r E_r^{\circ 2}$ であることを証明し、これが正定値半定値であり、有理数値をとり、パスや擬円型関連体系において驚くほど単純な形をしていることを示している。

ABSTRACT

If $X$ is a graph with adjacency matrix $A$, then we define $H(t)$ to be the operator $\exp(itA)$. The Schur (or entrywise) product $H(t)\circ H(-t)$ is a doubly stochastic matrix and, because of work related to quantum computing, we are concerned the extsl{average mixing matrix}. This can be defined as the limit of $C^{-1} \int_0^C H(t)\circ H(-t)\dt$ as $C o\infty$. We establish some of the basic properties of this matrix, showing that it is positive semidefinite and that its entries are always rational. We find that for paths and cycles this matrix takes on a surprisingly simple form, thus for the path it is a linear combination of $I$, $J$ (the all-ones matrix), and a permutation matrix.

研究の動機と目的

• 連続的量子ウォークのグラフ上における平均混合行列 $\u02c7{M}_X$ を、時間平均 $H(t) \circ H(-t)$ として定義し、その研究を行う。
• $\u02c7{M}_X$ の基本的性質を確立する。特に、正定値半定値性、有理数性、連結グラフにおける成分の厳密な正の性質。
• パスや擬円型関連体系に属するグラフ族のような特定のグラフ族に対して、$\u02c7{M}_X$ の明示的な閉形式表現を導出する。
• $\u02c7{M}_X$ の構造的意味を検討する。特に、頂点の共スペクトル性との関係、および行が異なる場合には完全な状態転送が存在しないこと。

提案手法

• グラフ $X$ の隣接行列 $A$ を用いて、ユニタリ行列 $H(t) = \exp(itA)$ により連続的量子ウォークを定義する。
• 遷移行列 $M_X(t) = H(t) \circ H(-t)$ を構築する。これは双確率的であり、状態転送の時間発展確率密度を記述する。
• 平均混合行列を $\u02c7{M}_X = \lim_{C \to \infty} \frac{1}{C} \int_0^C M_X(t) \, dt$ として定義し、$A$ のスペクトル射影 $E_r$ を用いて $\u02c7{M}_X = \sum_r E_r^{\circ 2}$ のスペクトル分解を導出する。
• スペクトル分解とシュール積理論を用いて、$\u02c7{M}_X$ が正定値半定値であり、かつ有理数値をとることを証明する。これは、隣接行列の特性多項式の分解体の体自己同型の不変性を利用している。
• 特殊なグラフ族を分析する。パスに対しては $\u02c7{M}_X = \frac{1}{2n+2}(2J + I + T)$ が成り立ち、奇数のサイクルまたは擬円型関連体系に属するグラフに対しては $\u02c7{M}_X = \frac{n-m+1}{n^2}J + \frac{m-1}{n}I$ となる。ここで $J$ はすべての成分が1の行列、$T$ は中心に関して対称な頂点を入れ替える置換行列である。
• 強共スペクトル性の特徴づけを確立する：頂点 $u$ と $v$ が強共スペクトルであるとは、$\u02c7{M}_X(e_u - e_v) = 0$ が成り立つことと同値であり、スペクトル的対称性と混合行動を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的量子ウォークのグラフ上における平均混合行列 $\u02c7{M}_X$ の基本的代数的およびスペクトル的性質は何か？
• RQ2 パスや擬円型関連体系のような特定のグラフ族に対して、平均混合行列は閉形式で表現可能か？
• RQ3 平均混合行列が元のグラフに存在しない対称性を反映するのはどのような条件下か？たとえば、自明な自己同型群を持つグラフにおいて。
• RQ4 強共スペクトル性の頂点と $\u02c7{M}_X$ の核との間に構造的関係はあるか？
• RQ5 $\u02c7{M}_X$ が $I$ と $J$ の線形結合となる条件は何か？このようなグラフはどれほど一般的か？

主な発見

• 平均混合行列 $\u02c7{M}_X$ は、常に正定値半定値である。これは、隣接行列のスペクトル分解から得られる直交射影のシュール平方の和として表されるためである。
• 任意の連結グラフ $X$ に対して、$\u02c7{M}_X$ のすべての成分は厳密に正である。これは、ウォークのダイナミクスの非可約性を反映している。
• $\u02c7{M}_X$ は、固有値が無理数であっても、有理数値をとる。これは、隣接行列の特性多項式の分解体の体自己同型の不変性による。
• $n$ 頂点からなるパスに対しては、$\u02c7{M}_X = \frac{1}{2n+2}(2J + I + T)$ が成り立ち、ここで $T$ は中心に関して対称な頂点を入れ替える置換行列である。
• 奇数のサイクル、または $n$ 頂点と $d$ 個の値が $m$ のクラスを持つ擬円型関連体系に属するグラフに対しては、$\u02c7{M}_X = \frac{n-m+1}{n^2}J + \frac{m-1}{n}I$ となる。これは、グラフの対称性が低くても、混合行列に高い対称性が現れることを示している。
• 頂点 $u$ と $v$ が強共スペクトルであることは、$\u02c7{M}_X(e_u - e_v) = 0$ が成り立つことと同値である。これは、この対称性の性質を特徴付けるスペクトル的基準を提供する。