[論文レビュー] Average sampling of band-limited stochastic processes

Sinuk Kang|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Image and Signal Denoising Methods参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、広義定常で帯域制限された確率過程の平均サンプリング展開（ASE）の十分条件を確立し、自己共分散関数に強い減衰仮定を課さずに、平均二乗収束およびほとんど確実収束を示している。ASEはナイキストレートで成立し、バンドガード条件の下で明示的な切り捨て誤差の上限が得られ、プロセスおよび平均化関数に関する条件を緩和することで、先行研究を改善している。

ABSTRACT

We consider the problem of reconstructing a wide sense stationary band-limited process from its local averages taken either at the Nyquist rate or above. As a result, we obtain a sufficient condition under which average sampling expansions hold in mean square and for almost all sample functions. Truncation and aliasing errors of the expansion are also discussed.

研究の動機と目的

• 帯域制限された確率過程の自己共分散関数に |t|−η（η > 1）の減衰を仮定する必要があるという、先行ASE結果の制限を解消すること。
• 自己共分散関数が |t|−η（η > 1）の形で減衰すると仮定しないまま、ASEが平均二乗収束およびほとんど確実収束することを示す十分条件を確立すること。
• 平均サンプリング定理を、過サンプリング設定にとどまらず、ナイキストレートの場合にも拡張すること。
• バンドガード条件の下で、切り捨て誤差の明示的な上限を導出すること。
• 広義定常プロセスの文脈において、ASEにおけるエイリアシング誤差を分析すること。

提案手法

• ペイリー＝ワイナー空間 PWπω におけるフレーム理論を用いて、コンパクトに台を持つ平均化関数 un を用いた局所平均 ⟨f, un⟩ による帯域制限関数の表現を行う。
• 平均化関数のフーリエ変換の逆数を用いて、双対フレーム {rn(t)} を構築し、|ˆu(ξ)| ∈ [A, B] 几乎 everywhere で [−π, π] 上に成り立つようにフレーム条件を満たす。
• 滑らかなカットオフ関数 θ(ξ) を用いた過サンプリング技術を適用し、θ(ξ) が [−ω, ω] 上で 1 で [−π, π] 外で 0 となるように設定し、これによりより速い減衰を示す修正核 ˜s(t) を得る。
• フレーム条件の下で、広義定常プロセスのASEが平均二乗収束およびほとんど確実収束することを示すことで、L2 収束を導出する。
• フーリエ逆変換および滑らかなカットオフ関数の性質を用いて、核 ˜s(t − n) の減衰を評価し、|˜s(t − n)| ≤ Cp(t)/|n|p（p > 1）を証明する。
• 積分推定および核係数の L1 型減衰を用いて切り捨て誤差の上限を確立し、E|X(t) − XN(t)|² ≤ 4RX(0)Cp(t)² / ((p−1)²N²⁽ᵖ⁻¹⁾) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広義定常で帯域制限された確率過程の平均サンプリング展開は、自己共分散関数が |t|−η（η > 1）の形で減衰すると仮定しないで確立可能か？
• RQ2 サンプル関数に関して、ASE は平均二乗収束に加えて、ほとんど確実に収束するか？
• RQ3 過サンプリングではなく、ナイキストレートでサンプリングした局所平均を用いて、完全な再構成が可能か？
• RQ4 バンドガード条件の下で、ASE の明示的な切り捨て誤差上限は何か？
• RQ5 帯域制限された確率過程の平均サンプリング枠組みにおいて、エイリアシング誤差はどのように振る舞うか？

主な発見

• 広義定常で帯域制限された確率過程の平均サンプリング展開は、自己共分散関数が |t|−η（η > 1）の形で減衰すると仮定しないまま、平均二乗収束およびほとんどすべてのサンプル関数に対して収束する。
• ナイキストレートでも成立する平均サンプリング定理が確立され、過サンプリングに限定された先行研究を改善している。
• 切り捨て誤差の明示的な上界が得られた：E|X(t) − XN(t)|² ≤ 4RX(0)Cp(t)² / ((p−1)²N²⁽ᵖ⁻¹⁾)，ここで Cp(t) はカットオフ関数 θ(ξ) の滑らかさに依存する。
• カットオフ関数 θ(ξ) が p 回連続微分可能であるとき、核 ˜s(t − n) の減衰が O(1/|n|p)（p > 1）であることが示された。
• エイリアシング誤差は E|X(t) − PX(t)|² = ∫|λ|>π F(dλ) として定量的に評価され、F はプロセスのスペクトル分布関数である。
• 双対フレームペア {Pu(t−n)} と {s(t−n)} は PWπ でリース基底をなしており、フレーム展開による安定な再構成が保証される。