[論文レビュー] Average Shortest Path Length of Graphs of Diameter 3

Nobutaka Shimizu, Ryuhei Mori|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Interconnection Networks and Systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、直径3の正則グラフにおける平均最短経路長（ASPL）を最小化するため、確率的局所探索（SLS）アルゴリズムに効率的な評価関数 $3\triangle + 2\Box$ を提案する。三角形と四角形の個数を活用することで、$O(1)$-time の評価が可能となり、低ASPLのグラフの構築が可能となる。シミュレーテッド・アニーリングとイテレーティブ・ファースト・イミューブメントを用いて、ノード数10,000、次数60および64のグラフにおいて、Graph Golf競争で最高の結果を達成した。

ABSTRACT

A network topology with low average shortest path length (ASPL) provides efficient data transmission while the number of nodes and the number of links incident to each node are often limited due to physical constraints. In this paper, we consider the construction of low ASPL graphs under these constraints by using stochastic local search (SLS) algorithms. Since the ASPL cannot be calculated efficiently, the ASPL is not suitable for the evaluation function of SLS algorithms. We first derive an equality and bounds for the ASPL of graphs of diameter 3. Then, we propose use the simpliest upper bound represented by the number of triangles and squares in the graph as an evaluation function for graphs of diameter 3. We show that the proposed evaluation function can be evaluated in O(1) time as the number of nodes and the maximum degree tend to infinity by using some data tables. By using the simulated annealing with the proposed evaluation function, we construct low ASPL regular graphs of diameter 3 with 10 000 nodes.

研究の動機と目的

• 固定された次数と最大次数制約のもとで、直径3のグラフにおける平均最短経路長（ASPL）を効率的に最小化する課題に対処すること。
• 確率的局所探索（SLS）アルゴリズムにおいて、ASPLを直接評価することが計算的に非現実的であるという課題を克服すること。
• ASPLと強く相関するグラフ部分構造に基づいた、高速で代理の評価関数を開発すること。
• 提案された評価関数を用いて、SLSアルゴリズムにより直径3の低ASPL正則グラフを構築すること。
• 大規模グラフ（10,000ノード）において、Graph Golf競争で最先端の結果を達成すること。

提案手法

• 三角形（$\triangle$）、四角形（$\Box$）、および高階部分構造（$\triangle^{(2)}$ および $\Box^{(2)}$）の個数を用いて、直径3グラフにおけるASPLの正確な等式およびタイトな境界を導出する。
• SLSに適した計算効率の良い評価関数として $3\triangle + 2\Box$ を提案し、ASPLとの強い相関性と、事前計算されたデータテーブルを用いた $O(1)$ 評価時間によって裏付けられる。
• 辺ごとの三角形および四角形の個数を格納するデータ構造を用いて評価関数を実装し、局所探索中の定数時間更新を可能にする。
• 提案された評価関数を用いて、イテレーティブ・ファースト・イミューブメント（IFI）およびシミュレーテッド・アニーリング（SA）を適用し、解空間を効率的に探索する。
• IFIの最適化のため、間隔をあけて辺を $3\triangle_e + 2\Box_e$ に基づいて再ソートし、スイッチの対象となる有望な辺ペアを優先する。
• 探索と活用のバランスを取るために、$T(k) = 11 / \ln(k+1)$ のアニーリングスケジュールを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径3グラフにおけるASPLを正確に近似できる、高速で部分構造に基づく代理関数は実現可能か？
• RQ2 SLSによる直径3正則グラフのASPL最小化において、$3\triangle + 2\Box$ は十分な評価関数として機能するか？
• RQ3 $O(1)$-time の評価が可能な代理関数により、低ASPLグラフの探索が効率的に行えるか？
• RQ4 提案された関数を用いたSLSによるASPLの向上は、ランダム正則グラフと比較してどの程度のものか？
• RQ5 本手法は、Graph Golf競争のような大規模グラフ構築において、既存手法を上回る性能を発揮できるか？

主な発見

• 提案された評価関数 $3\triangle + 2\Box$ は $O(1)$-time の評価と、1回の局所移動あたり $O(d^2)$-time の更新を可能とし、大規模SLSにおいて極めて効率的である。
• ノード数 $n = 10,000$、次数 $d = 60$ の場合、提案関数を用いたシミュレーテッド・アニーリングによりASPLが 2.6502 に達し、ASPLギャップは $6.2 \times 10^{-3}$ となり、Graph Golf競争で最高の結果を記録した。
• ノード数 $n = 10,000$、次数 $d = 64$ の場合、ASPLは 2.6099 に達し、ASPLギャップは $10.0 \times 10^{-3}$ となり、これもGraph Golfで最高の結果を記録した。
• 改良版IFIアルゴリズムにより、$n=10,000, d=60$ の場合、ランダムグラフのASPLギャップ $21.31 \times 10^{-3}$ が、局所最適解では $6.886 \times 10^{-3}$ にまで低下し、68%の改善が達成された。
• ランダム正則グラフと比較して、$n=10,000, d=64$ の場合、最適化後、ASPLギャップが50%以上削減された。
• 本稿で導出した境界、特に $\triangle^{(2)}$ および $\Box^{(2)}$ を含むものについては、$3\triangle + 2\Box$ 関数よりもASPLをより正確に近似していた。これは、さらなる改善が可能な評価関数の可能性を示唆している。