[論文レビュー] Average/Worst-Case Gap of Quantum Query Complexities by On-Set Size

Andris Ambainis, Kazuo Iwama+5 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、オンセットサイズ M である N 変数ブール関数の量子および古典的クエリ複雑度を分析し、特定の M に対して平均ケースと最悪ケースの量子クエリ複雑度の間に超線形の差が生じることを示している。一方、ランダム化クエリ複雑度は線形の差しか示さない。量子複雑度のタイトな境界は、平均で Θ(log M / (c + log N − log log M) + √N) であり、F_{N,M} のほとんどすべての関数に対してランダム化複雑度は Ω(N) である。

ABSTRACT

This paper considers the query complexity of the functions in the family F_{N,M} of N-variable Boolean functions with onset size M, i.e., the number of inputs for which the function value is 1, where 1<= M <= 2^{N}/2 is assumed without loss of generality because of the symmetry of function values, 0 and 1. Our main results are as follows: (1) There is a super-linear gap between the average-case and worst-case quantum query complexities over F_{N,M} for a certain range of M. (2) There is no super-linear gap between the average-case and worst-case randomized query complexities over F_{N,M} for every M. (3) For every M bounded by a polynomial in N, any function in F_{N,M} has quantum query complexity Theta (sqrt{N}). (4) For every M=O(2^{cN}) with an arbitrary large constant c<1, any function in F_{N,M} has randomized query complexity Omega (N).

研究の動機と目的

• オンセットサイズ M がブール関数の量子および古典的クエリ複雑度に与える影響を理解すること。
• 量子およびランダム化設定における平均ケースと最悪ケースのクエリ複雑度のギャップを調査すること。
• F_{N,M} に属する関数のクエリ複雑度のタイトな境界を導出すること。F_{N,M} は、M 個の入力が 1 にマッピングされる N 変数ブール関数の族である。
• オンセットサイズ M が量子およびランダム化クエリ複雑度に非自明な境界をもたらす範囲を特定すること。

提案手法

• 対称性により 1 ≤ M ≤ 2^{N}/2 と仮定して、オンセットサイズ M の N 変数ブール関数の族 F_{N,M} を分析する。
• クエリ複雑度が有界な関数の数に対する組合せ的境界を用い、二項係数の推定とエントロピーに基づく近似を活用する。
• 量子アドバーガー法とランダム化意思決定木の下界を適用して、複雑度の限界を導出する。
• 確率的議論を用いて、M = O(2^{cN}) かつ c < 1 の場合でも、F_{N,M} に属するほとんどすべての関数が Ω(N) のランダム化クエリを必要とすることを示す。
• 集中不等式を用いて平均ケースの量子クエリ複雑度を導出し、大規模な N に対して Θ(log M / (c + log N − log log M) + √N) であることを示す。
• 関数族の数え上げ的議論とクエリ深さの閾値解析を用いて、クエリ複雑度の下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンセットサイズ M とブール関数の平均ケース量子クエリ複雑度の関係は何か？
• RQ2 F_{N,M} に属する関数において、平均ケースと最悪ケースの量子クエリ複雑度の間に超線形のギャップが存在しうるか？
• RQ3 F_{N,M} に属する関数のランダム化クエリ複雑度は、平均ケースと最悪ケースでどのように比較されるか？
• RQ4 M のどの範囲において、F_{N,M} に属する関数の量子クエリ複雑度が Θ(√N) に有界になるか？
• RQ5 F_{N,M} に属するほとんどすべての関数に対して、ランダム化クエリ複雑度の最もタイトな下界は何か？

主な発見

• M が特定の範囲にあるとき、F_{N,M} に属する関数において、平均ケースと最悪ケースの量子クエリ複雑度の間に超線形のギャップが存在する。
• 任意の M に対して、平均ケースと最悪ケースのランダム化クエリ複雑度のギャップは超線形ではなく、線形要因で抑えられる。
• M が N の多項式で有界なすべての M に対して、F_{N,M} に属するすべての関数は量子クエリ複雑度 Θ(√N) を持つ。
• 任意の定数 c < 1 に対して M = O(2^{cN}) であるすべての M に対して、F_{N,M} に属するすべての関数はランダム化クエリ複雑度 Ω(N) を持つ。
• F_{N,M} に一様に分布する関数の平均量子クエリ複雑度は、c > 0 が定数であるとき Θ(log M / (c + log N − log log M) + √N) である。
• F_{N,M} の少なくとも 1−1/2^N の関数は、M = 2^{(1−o(1))N} であってもランダム化クエリ複雑度 Ω(N) を持つ。