[論文レビュー] Averaged projections, angles between groups and strengthening of property (T)

Izhar Oppenheim|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平均化射影とバナッハ空間における射影間の角度の新しい概念を用いて、バナッハ性質(T)のより弱いが依然として強力な拡張として「ロバストバナッハ性質(T)」を導入する。著者らはこの性質の基準を確立し、固定点性質およびバナッハ拡張子の存在を示す。その応用として、非アルキメデス的局所体上の $SL_3(\mathbb{F})$ のような群に対しても有効である。

ABSTRACT

Using the method of averaged projections and introducing a new notion of angles between projections, we establish a criterion for a certain type of strengthening of property (T) (which is weaker than the notion of strong Banach property (T) introduced by Lafforgue). We also derive several applications regarding fixed point properties and Banach expanders and give examples of these applications.

研究の動機と目的

• バナッハ性質(T)のより弱いが依然として強力な拡張として、『ロバストバナッハ性質(T)』を定義し、強い幾何学的および表現論的帰結を保証すること。
• バナッハ空間における射影間の新しい角度の概念と平均化射影を用いて、ロバストバナッハ性質(T)の基準を構築すること。
• ロバストバナッハ性質(T)が、バナッハ空間への群作用における固定点性質およびバナッハ拡張子の存在を示すことを証明すること。
• 特定の群、たとえば非アルキメデス的局所体上の $SL_3(\mathbb{F})$ に対して、この新しい基準を満たすことを確認し、ロバストバナッハ性質(T)が成り立つことを示すこと。
• ラフォルグの強いバナッハ性質(T)を一般化・精緻化する枠組みを提供すること。また、標準的な性質(T)を有する群やヒルバート空間の小さな変形に対しても適用可能であるようにすること。

提案手法

• 群 $G$ における対称的・実数値・compactly 細分関数列 $f_n \in C_c(G)$ を用い、$\int f_n = 1$ であり、$C_{\mathcal{F}(\mathcal{E}, s_0 l)}$ 内で射影 $p$ に収束するように定義し、$p$ が不変ベクトルへの射影として作用することを示す。
• バナッハ空間における射影間の幾何的関係を定量化するための、射影間の新しい「角度」の概念を導入する。特に、平均化射影と関連して考察する。
• バナッハ空間における平均化射影の手法を用いて、作用素のノルムを制御し、$\pi(f_n)$ から $\pi(p)$ への収束に関する一様推定を得る。
• 射影間の角度に関する一様な境界と、群作用下での関数の $L^2$-ノルムの減衰に基づく、ロバストバナッハ性質(T)の基準を確立する。
• 基準を適用して、非アルキメデス的局所体 $\mathbb{F}$ に対して $SL_3(\mathbb{F})$ がロバストバナッハ性質(T)を満たすことを証明する。その際、群の構造とブルハット＝ティツの建物への作用を用いる。
• バナッハ拡張子への応用を導く。具体的には、一様な定数を用いたPoincaré型不等式を満たすグラフ族が、クラス $\mathcal{E}$ のバナッハ空間 $X$ に対して $X$-拡張子であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点性質およびバナッハ拡張子の存在を保証する、強いバナッハ性質(T)のより弱い変種を定義できるか？
• RQ2 バナッハ空間における平均化射影の手法を用いて、ロバストバナッハ性質(T)の基準を構築できるか？
• RQ3 射影間の角度が、不変部分空間の幾何的構造を定量化し、射影への収束を保証する役割を果たすか？
• RQ4 どの群に対してロバストバナッハ性質(T)が成り立ち、強力バナッハ性質(T)および古典的性質(T)とどのように関係するか？
• RQ5 ロバストバナッハ性質(T)を用いて、グラフ上の一様Poincaré不等式の観点からバナッハ拡張子を構成または特徴づけられるか？

主な発見

• ロバストバナッハ性質(T)は、強いバナッハ性質(T)の弱体化であり、$C_{\mathcal{F}(\mathcal{E}, s_0 l)}$ 内にKazhdan射影 $p$ が存在し、任意の $\pi \in \mathcal{F}(\mathcal{E}, s_0 l)$ に対して $\pi(p)$ が $X^\pi$ への射影となることを保証する。
• 本稿では、平均化射影と射影間の新しい角度の概念を用いて、ロバストバナッハ性質(T)の基準を確立し、$\pi(f_n)$ から $\pi(p)$ への収束に対する一様制御が可能であることを示した。
• 非アルキメデス的局所体 $\mathbb{F}$ に対して $SL_3(\mathbb{F})$ は、この基準を満たしており、型 $>1$ のバナッハ空間のクラスに関してロバストバナッハ性質(T)を有することが示された。
• 関数族 $\{(V_i, E_i)\}$ が一様なPoincaré型不等式（定数 $C$）を満たすならば、ロバストバナッハ性質(T)の仮定のもとで、任意のバナッハ空間 $X \in \mathcal{E}$ に対して $X$-拡張子の族であることが証明された。
• 関数 $\phi$ とその平均との $L^2$-距離を、辺の差分の和で一様に評価する定数 $C = 8M^2k^2|S|$ が導出された。この評価はグラフのサイズに依存しない。
• この構成により、ロバストバナッハ性質(T)を有する任意の群は、一様に有界な次数と増加するサイズを持つ商グラフを持つ有限商群 $G/N_i$ の族を備え、すべての $X \in \mathcal{E}$ に対して $X$-拡張子を形成することが示された。