[論文レビュー] Averages along cubes for not necessarily commuting measure preserving transformations

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可換でない測度保存変換のもとで、6つの有界関数に対する3次元立方体に沿った重み付き平均のほとんど everywhere およびノルム収束を確立する。Wiener-Wintner型推定とエルゴディック分解を用いて、$ \frac{1}{N^3}\sum_{n,m,p=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^p x)f_4(T_4^{n+m}x)f_5(T_5^{n+p}x)f_6(T_6^{m+p}x)$ の形の平均が、有限測度空間上の有界関数に対して、変換が可換でない場合でもほとんど everywhere に収束することを証明する。

ABSTRACT

We study the pointwise convergence of some weighted averages linked to averages along cubes. We show that if $(X,\mathcal{B},μ, T_i)$ are not necessarily commuting measure preserving systems on the same finite measure space and if $f_i,$ $1\leq i\leq 6$ are bounded functions then the averages $$\frac{1}{N^3}\sum_{n, m, p=1}^N f_1(T_1^nx) f_2(T_2^mx) f_3(T_3^px) f_4(T_4^{n+m}x) f_5(T_5^{n+p}x) f_6(T_6^{m+p}x)$$ converge almost everywhere.

研究の動機と目的

• 可換でない測度保存変換を伴う力学系において、3次元立方体に沿った重み付き平均の逐次的ほとんど everywhere 収束を確立すること。
• 2次元平均に関する先行結果を、複数の変換が非可換作用を示す3次元立方体設定に拡張すること。
• 特定の固有関数とスペクトル測度を含む重み付き平均の収束に関して、エルゴディック性が必要条件であるかどうかを調査すること。
• このような平均の収束集合が、有界列の選択に依存しないことを示し、収束行動における算術的構造の役割を強調すること。

提案手法

• 変換に関連する指数和の成長を制御するため、Wiener-Wintner型推定を用いる。
• Lemma 1 および Lemma 2 を適用し、周波数 $t$ における三角多項式平均の上界を用いて、平均の $L^2$ ノルムを評価する。
• エルゴディック分解を用いて問題をエルゴディック系に還元し、スペクトル理論とスペクトル測度の適用を可能にする。
• アフィニティ原理を用いて、スペクトル測度間の直交性（例えば、Lebesgue 測度とDirac測度）を分析し、列の収束または発散を確立する。
• 振動するCesàro平均を有する列 $v_n$ と二次位相 $e^{2\binom{in^2\alpha}}$ を用いた反例を構成し、非エルゴディック設定における発散を示す。
• 恒等式 $(n+m+p)^2 = (n+m)^2 + (n+p)^2 + (m+p)^2 - n^2 - m^2 - p^2$ を用いて、変換 $S(x,y) = (x+\alpha, x+y)$ の力学と平均の位相構造を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となる測度保存変換が可換でない場合、3次元立方体に沿った重み付き平均は almost everywhere に収束するか？
• RQ2 固有関数と有界列を含む重み付き平均の a.e. 収束に関して、エルゴディック性の仮定は必要か？
• RQ3 スペクトル構造が示唆するように、このような平均の収束集合が有界列の選択に依存しないのか？
• RQ4 多変量エルゴディック平均の収束において、算術的構造（例えば、多項式位相）と力学的構造の役割は何か？
• RQ5 特定の重み付き立方体平均が a.e. に収束しないような、1つの力学系と関数を構成できるか？ ただし、個々の列は Wiener-Wintner 条件を満たすものとする。

主な発見

• 有界関数 $f_i$ および可換でない測度保存変換 $T_i$ に対して、平均 $\frac{1}{N^3}\sum_{n,m,p=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^p x)f_4(T_4^{n+m}x)f_5(T_5^{n+p}x)f_6(T_6^{m+p}x)$ は、ほとんど everywhere およびノルム収束する。
• 変換が可換でない場合でも収束が成立し、可換性またはエルゴディック性を仮定する必要がなかった先行結果を拡張する。
• 平均が収束する $x$ の集合は、有界列 $a_n, b_n, c_n$ の選択に依存しないことが示され、収束行動に深いつながりのある算術的構造が存在することが示唆される。
• 非エルゴディック系と発散するCesàro平均を有する列 $v_n$ を用いた反例を構成し、特定の高次平均の収束にはエルゴディック性が必要であることを示す。
• 列 $a_n = v_n e^{2\pi i n^2 \alpha}$ は $\mathcal{WW}_1$ クラスに属するが、特定の非エルゴディック設定では平均が発散する。これは、Lemma 3 においてエルゴディック性が本質的であることを示す。
• 発散は、$v_n$ からのスペクトル測度 $\delta_0$ と $e^{2\pi i n^2 \alpha}$ からのLebesgue測度との直交性に起因し、関連する指数和の収束が妨げられる。