[論文レビュー] Averages of character sums

Jonathan Bober|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ディリクレ指標のフーリエ展開の短い切り捨てが、小さな区間におけるその平均値を精度よく近似できることを確立し、指標和の大きさに関する新たな境界を得た。主な結果として、無限に多くの指標に対して、長さ $ o(q) $ の指標和が $ \gg q^{1/2}\log\log q $ に達することを示した。これは平均的な場合におけるポリア–ビノグラドフの境界を改善し、大きな最小非剰剰剰数の期待に合致する。

ABSTRACT

We show that a short truncation of the Fourier expansion for a character sum gives a good approximation for the average value of that character sum over an interval. We give a few applications of this result. One is that for any $b$ there are infinitely many characters for which the sum up to $\approx aq/b$ is $\gg q^{1/2} \log \log q$ for all $a$ relatively prime to $b$; another is that if the least quadratic nonresidue modulo $q \equiv 3 \pmod 4$ is large, then the character sum gets as large as $(\sqrt{q}/π) (L(1, χ) + \log 2 - ε)$, and if $B$ is this nonresidue, then there is a sum of length $q/B$ which has size $(\sqrt{q}/π) (\log 2 - ε)$.

研究の動機と目的

• 短い区間における指標和の平均的挙動を理解すること、特に点での境界（例：ポリア–ビノグラドフ）が不十分な場合に有効であることを目的とする。
• 長期間のフーリエ展開が必要となる点での近似の障害を乗り越え、平均値の近似には短い切り捨てで十分であることを示すこと。
• 長さ $ o(q) $ に対して $ \gg q^{1/2}\log\log q $ の大きさの指標和を持つ指標の存在を確立すること、特に偶数指標および最小非剰剰剰数が大きな指標に対して。
• 最小平方非剰剰剰数が大きな奇数平方指標の挙動を分析し、その和が中央値を $ \gg q^{1/2} $ 超えて達することを示すこと。

提案手法

• 指標和 $ S_\chi(x) $ の切り捨てられたフーリエ展開を使用し、幅 $ \sim 1/B $ の区間での平均化が主項を捉え、誤差 $ O(q^{1/2}) $ で行えることを示す。
• 積分公式 $ \frac{B}{2}\int_{\alpha-1/B}^{\alpha+1/B} S_\chi(tq) dt = A(\chi) + \frac{\tau(\chi)}{i\pi} \sum_{n<B} \frac{\overline{\chi}(n)}{n} f(2\pi n\alpha) + O(q^{1/2}) $ を適用し、$ f(x) $ は $ \chi $ の偶奇性に依存する。
• 高周波項（$ n \geq B $）は短い区間で平均化され、寄与が $ O(1) $ にまで減少することを活用し、$ B $ までの和が支配的になることを示す。
• 滑らかさの推定と指標和の境界を用い、$ B $ が十分に大きいとき、$ n \leq AB $ の和における $ \chi(n) $ を 1 に置き換えても誤差が無視できるほど小さいことを示す。
• 奇数指標に対してリーマン仮説を仮定し、$ L(1,\chi) $ を制御することで $ A(\chi) $ が小さくなり、和が大きく保たれることを保証する。
• 予想的指標フレームワークを用い、小導手の指標を模倣する指標を解釈することで、大きな和の構成を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点での近似が悪いにもかかわらず、指標和のフーリエ展開の短い切り捨てが、小さな区間における平均値を精度よく近似できるか？
• RQ2 長さ $ o(q) $ に対して $ \gg q^{1/2}\log\log q $ に達する、任意に大きな位数の無限に多くの原始的偶数指標が存在するか？
• RQ3 最小平方非剰剰剰数 $ B $ が大きいとき、指標和はどのように振る舞い、長さ $ \ll q $ で大きな和に達する可能性があるか？
• RQ4 ペイリー型の構成を用いて、長さが $ q/4 $ に近いが正確には $ q/4 $ でない場合に、$ \gg q^{1/2}\log\log q $ の大きさの指標和を生成できるか？
• RQ5 すべての $ n < B $ に対して $ \chi(n) = 1 $ のとき、$ t = 1/2 $ の周辺の短い区間における指標和の平均はどのように振る舞い、その大きさにどのような意味があるか？

主な発見

• 任意の $ b > 0 $ に対して、$ q $ を法とする原始的偶数指標で、位数が任意に大きく、ある $ \alpha $ が $ |\alpha - a/b| \ll 1/\log q $ を満たすようなものが無限に存在し、$ |S_\chi(\alpha q) - A(\chi)| \gg \frac{\sqrt{q}}{\pi\sqrt{b}} \log\log q $ が成り立つ。
• もし $ A < \frac{e^\gamma}{\sqrt{3}} $ であれば、無限に多くの偶数指標が存在し、長さ $ \leq q/\log^A q $ のある和が $ \left| \sum_{q/3 \leq n \leq q/3 + N} \chi(n) \right| \geq \left( \frac{e^\gamma}{\pi\sqrt{3}} - \frac{A}{\pi} \right) q^{1/2} \log\log q $ を満たす。
• 最小平方非剰剰剰数 $ B \to \infty $ のとき、$ t_\chi \in [1/2 - 1/B, 1/2] $ が存在し、$ S_\chi(q t_\chi) - S_\chi(q/2) \gg \frac{\log 2}{\pi} q^{1/2} $ が成り立つ。これは和が中央値を定数倍超えて上回ることを示している。
• 奇数指標で $ B $ が大きい場合、$ t \in [1/2 - 1/B, 1/2 + 1/B] $ における $ S_\chi(tq) $ の平均は $ \frac{\sqrt{q}}{\pi} \left( L(1,\chi) + \log 2 \right) $ でよく近似され、$ L(1,\chi) $ が大きいとき、中央値を $ \gg q^{1/2} $ 超えて上回る。
• 本手法により、長さ $ o(q) $ の和に対するポリア–ビノグラドフの境界の改善は、すべての長さ $ O(q) $ に対する改善を意味する。特に偶数指標に対して顕著である。
• 相反位数の小導手の指標を模倣する指標の構成により、長さ $ \ll q $ で $ \gg q^{1/2}\log\log q $ の大きさの指標和が得られ、ヒューリスティックな期待に合致する。