[論文レビュー] Averages of shifted convolutions of $d_3(n)$

Stephan Baier, T. D. Browning+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、円周法とモーメント推定を用いて、三重除数関数 $d_3(n)$ に関するシフトされた畳み込み和の漸近的挙動を調査する。誤差項 $\Delta(N,h)$ の第一および第二モーメントに対する境界を確立し、広い範囲のほとんどすべての $h$ に対して期待される漸近公式が成り立つことを示し、リーマン・ゼータ関数の第六モーメントに関する予想を支持する。

ABSTRACT

We investigate the first and second moments of shifted convolutions of the generalised divisor function $d_3(n)$.

研究の動機と目的

• シフトされた畳み込み和 $D_3(N,h) = \sum_{N<n\leq 2N} d_3(n)d_3(n+h)$ の予想される漸近的挙動に対する理論的支援を提供すること。
• 誤差項 $\Delta(N,h) = D(N,h) - \int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$ の第一および第二モーメントに対する境界を確立すること。
• これらのモーメントと臨界線におけるリーマン・ゼータ関数の第六モーメントとの関係を調査すること。
• 円周法の枠組みにおいて、モーメント推定を用いて予想される特異級数構造 $\mathfrak{S}(x,h)$ を正当化すること。

提案手法

• 第一モーメントは、ペロンの公式および $\zeta(s)$ の第六モーメントに関する評価を用いて分析される。
• 第二モーメントは、双子素数の研究に由来するマイカワの方法の変種を用い、円周法と小域における $L^2$-型推定を組み合わせて取り扱われる。
• 特異級数 $\mathfrak{S}(x,h)$ は、$d_3(n)$ の算術的構造を捉える $P(x,q)$ を含む留数積分によって定義される。
• 主要域は、有理近似の和として畳み込み和を表現し、留数定理を用いて主要項を評価することで分析される。
• 小域は、積分を二重領域に分割し、指数和の評価を用いた $L^2$-型推定を適用することで取り扱われる。
• 主な構成要素には、$d_3(n)$ の乗法的構造をオイラー積を介して表現する関数 $G_{k,d}(s)$、$g(s,q)$、および $H(s,q)$ が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフトされた畳み込み和 $D_3(N,h)$ の誤差項 $\Delta(N,h)$ は、適切な平均的境界を満たすか？
• RQ2 予想される特異級数 $\mathfrak{S}(x,h)$ は、モーメント推定によって正当化可能か？
• RQ3 どの範囲の $h$ に対して漸近公式 $D(N,h) \sim \int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$ がほとんどすべての $h$ に対して成り立つか？
• RQ4 $\Delta(N,h)$ の第一および第二モーメントは、$\zeta(1/2 + it)$ の第六モーメントとどのように関係するか？

主な発見

• 第一モーメントは、$1 \leq H \leq N$ に対して $\sum_{h \leq H} \Delta(N,h) \ll (H^2 + H^{1/2}N^{13/12})N^{\varepsilon}$ を満たし、$D(N,h)$ の予想される漸近的挙動を支持する。
• $N^{1/3+\varepsilon} \leq H \leq N^{1-\varepsilon}$ の範囲で、第二モーメントは $\sum_{h \leq H} |\Delta(N,h)|^2 \ll H N^{2-\delta}$（$\delta > 0$）を満たし、この範囲のほとんどすべての $h$ に対して漸近公式が成り立つことを示唆する。
• 第一モーメントの評価により、$I_3(T) \ll T^{11/8+\varepsilon}$ が得られるが、既知の指数 $5/4+\varepsilon$ よりも改善されない。
• 主要項 $\int_N^{2N} \mathfrak{S}(x,h)\,dx$ は、$h \leq N^{1-\eta}$ の範囲で、$O(N^{1-\delta_{10}})$ の誤差を除き漸近的に正しいことが示された。
• 特異級数 $\mathfrak{S}(x,h)$ は、留数積分 $P(x,q)$ を通じて、$d_3(n)$ の算術的平均と厳密に結びつけられた。