[論文レビュー] Averaging and large deviation principles for fully-coupled piecewise deterministic Markov processes and applications to molecular motors

Alessandra Faggionato, Davide Gabrielli+1 more|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Protein Structure and Dynamics参考文献 20被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、連続的および離散的状態が同時に進化する完全に結合された区分的決定的マーカフ過程（PDMP）の平均化および大偏差原理を確立し、平均化された力場および遷移確率を持つ有効PDMPへの収束を証明する。これらの結果は、特にひずみ依存のパワー・ストローク機構を有する分子モーターのモデル化に応用される。

ABSTRACT

We consider Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs) with a finite set of discrete states. In the regime of fast jumps between discrete states, we prove a law of large number and a large deviation principle. In the regime of fast and slow jumps, we analyze a coarse-grained process associated to the original one and prove its convergence to a new PDMP with effective force fields and jump rates. In all the above cases, the continuous variables evolve slowly according to ODEs. Finally, we discuss some applications related to the mechanochemical cycle of macromolecules, including strained--dependent power--stroke molecular motors. Our analysis covers the case of fully--coupled slow and fast motions.

研究の動機と目的

• 連続的および離散的状態が同時に進化する完全に結合されたPDMPにおける平均化および大偏差の数学的枠組みを確立すること。
• 常微分方程式（ODE）によって支配されるゆっくりとした連続的変化と、離散状態間の高速なジャンプを有する系の解析の課題に対処すること。
• 高速および低速遷移の領域において、微視的PDMPモデルから巨視的有効ダイナミクスを導出すること。
• 理論的結果を、ひずみ依存の力生成を含む分子モーターの現実的なモデルに応用すること。
• 既存の平均化原理を、ゆっくりとした連続変数と高速な離散過程との間の完全な結合を含む形に一般化すること。

提案手法

• 有限な離散状態空間と、ジャンプ間でODEに従って進化する連続的状態変数を有する完全に結合されたPDMPのクラスを形式化する。
• 高速ジャンプ過程におけるエルゴディック理論を適用し、ゆっくりとしたスケールの極限における有効な駆動力およびジャンプ率関数を導出する。
• 粗視化された過程における大数の法則（LLN）を確立し、有効ダイナミクスを有する決定的ODEへの収束を示す。
• ゆっくりとしたスケールの過程における大偏差原理（LDP）を証明し、高速ジャンプ過程のエルゴディック性に基づくレート関数を用いて、まれな事象の確率を定量化する。
• 弱収束法およびコンパクト性の議論を用いて、ゆっくりした過程が有効PDMPに収束することを正当化する。
• 高速ジャンプおよび高速-ゆっくりジャンプの両方の状態において、極限過程を分析し、有効ダイナミクスがPDMP構造を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高速な離散的遷移を有する完全に結合されたPDMPのダイナミクスは、どのようにより単純な平均化PDMPによって有効に近似可能か？
• RQ2 このような系のゆっくりとしたスケールの挙動におけるまれなフラクチュエーションを支配する大偏差原理は何か？
• RQ3 完全な結合の下で、高速ジャンプ過程からどのように有効な力場およびジャンプ率が生じるか？
• RQ4 理論的枠組みは、ひずみ依存遷移を有する分子モーターの機械的・化学的サイクルをモデル化するために応用可能か？
• RQ5 高速-ゆっくり分離の下で、粗視化された過程が制限PDMPに収束するための条件は何か？

主な発見

• 粗視化された過程に対して大数の法則が確立され、有効な駆動力およびジャンプ率関数を有する決定的ODEへの収束が示された。
• ゆっくりとしたスケールの過程における大偏差原理が証明され、高速ジャンプ過程のエルゴディック性に基づくレート関数が導出された。
• 有効ダイナミクスは、平均化された力場およびジャンプ率を有する新たなPDMPを形成し、マルコフ性および区分的決定的構造を保持する。
• 従来の研究よりも弱い仮定の下でも結果が成り立つため、ゆっくりとした変数と高速な変数との完全な結合を許容する。
• この枠組みは、ひずみ依存のパワー・ストローク分子モーターを成功裏にモデル化し、その機械的・化学的サイクルの主要な特徴を捉えている。
• 弱収束およびコンパクト性の技術を用いて、粗視化された過程が有効PDMPに収束することを厳密に証明した。