[論文レビュー] Averaging and rates of averaging for uniform families of deterministic fast-slow skew product systems

Alexey Korepanov, Zemer Kosloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非一様に拡張する動的システムを有する決定的で速-遅スケールのねじれ積構造系（fast-slow skew product systems）について、離散的および連続的時間の両方において、速い部分系の統計的安定性が弱いかつ弱い仮定のもとで、平均化およびその平均化の速度を確立する。収束速度は最良の $ O(\epsilon^{1/2-}) $ を達成し、従来の平均化理論を一様に双曲的でない状況へ拡張し、間欠的、単峰的、およびViana写像を含む状況をカバーする。

ABSTRACT

We consider families of fast-slow skew product maps of the form \begin{align*} x_{n+1} = x_n+εa(x_n,y_n,ε), \quad y_{n+1} = T_εy_n, \end{align*} where $T_ε$ is a family of nonuniformly expanding maps, and prove averaging and rates of averaging for the slow variables $x$ as $ε o0$. Similar results are obtained also for continuous time systems \begin{align*} \dot x = εa(x,y,ε), \quad \dot y = g_ε(y). \end{align*} Our results include cases where the family of fast dynamical systems consists of intermittent maps, unimodal maps (along the Collet-Eckmann parameters) and Viana maps.

研究の動機と目的

• 速い部分系が一様に双曲的ではなく、非一様に拡張的である場合の古典的平均化理論を、速-遅スケールねじれ積構造系へ拡張すること。
• 不変測度に弱い正則性仮定を置き、線形応答の代わりに統計的安定性を用いて、遅い変数が平均化系へ収束することを確立すること。
• 離散的および連続的時間の両設定において、特に本質的に最良の収束速度 $ O(\epsilon^{1/2-}) $ を含む、定量的な平均化速度を導出すること。
• 古典的線形応答が失敗する状況、例えばCollet-Eckmann単峰的写像や混合性が低い間欠的写像を扱えるようにすること。
• 非一様に双曲的系の広いクラスに適用可能な一般枠組みを提供すること、特にそのような写像上の懸垂系を含む。

提案手法

• 離散時間における速-遅スケールねじれ積構造系を $ x_{n+1} = x_n + \epsilon a(x_n, y_n, \epsilon) $, $ y_{n+1} = T_\epsilon y_n $ として定式化し、$ T_\epsilon $ が非一様に拡張的であることを仮定する。
• 遅い動的系の線形応答の代わりに、不変測度 $ \nu_\epsilon $ の統計的安定性、すなわち弱収束 $ \nu_\epsilon \to \nu_0 $ を用いる。
• 真の軌道 $ x_n $ を近似する比較過程 $ w_n $ を導入し、初期値のずれの測度 $ \delta_\epsilon $ で誤差を有界化する。
• 離散時間版の古典的平均化定理を用いた2次平均化の議論により、$ x_n $ と平均化された経路との差を制御する。
• リプシッツ連続性を活用して、ベクトル場 $ \bar{a} $ を用いたグローヴァル型推定を適用し、真の解と平均化されたODEとの乖離を有界化する。
• 連続時間系の場合は、フローの1時間移動写像を用いて離散時間設定に還元し、類似の推定を適用して連続時間における収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速い部分系が一様に双曲的ではなく、非一様に拡張的である場合、速-遅スケールねじれ系において平均化を確立できるか？
• RQ2 このような非一様に双曲的状況において、平均化系への収束の最良の速度は何か？
• RQ3 平均化定理の証明において、線形応答の代わりに不変測度の統計的安定性をどのように用いることができるか？
• RQ4 線形応答が失敗する状況、例えば間欠的写像、単峰的写像（例：Collet-Eckmannパラメータ）およびViana写像へ、結果がどの程度拡張可能か？
• RQ5 非一様に双曲的な速い流れを有する連続時間系へ、この枠組みをどのように適応可能にするか？

主な発見

• 本稿は、不変測度 $ \nu_\epsilon $ の統計的安定性を仮定することで、非一様に拡張的である速い部分系を有する速-遅スケールねじれ系において平均化を証明する。
• 遅い変数が平均化系へ収束する速度は $ O(\epsilon^{1/2-}) $ であり、これは本質的に最良であり、一様に拡張的系における既知の速度と一致する。
• 結果は、混合性が任意に弱い間欠的写像、Collet-Eckmannパラメータに沿った単峰的写像、およびViana写像を含む広いクラスの系に成立する。
• 線形応答の必要性を回避するため、非一様に双曲的状況においてより取り扱いやすく、検証可能な統計的安定性に依拠する枠組みを提供する。
• 連続時間系は1時間移動写像を用いて離散時間設定に還元され、類似の平均化および収束速度の結果が得られる。
• 一般にほとんど確実収束が成立しないことの反例が提示され、確率的収束または $ L^1 $ 収束の必要性が強調されている。