[論文レビュー] Averaging for nonlinear systems evolving on Riemannian manifolds

Farzin Taringoo, Dragan Nešić+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微分幾何学、特にLevi-Civita接続とリーマン距離を活用することで、非線形力学系の平均化理論をリーマン多様体へと拡張する。有限および無限時間区間において、元の系と平均化系の解の近接性を確立し、コンパクト性および局所安定性の仮定の下で漸近的および指数的安定性の結果を証明する。応用例はトーラス多様体上で提示される。

ABSTRACT

This paper presents an averaging method for nonlinear systems defined on Riemannian manifolds. We extend closeness of solutions results for ordinary differential equations on $R^{n}$ to dynamical systems defined on Riemannian manifolds by employing differential geometry. A generalization of closeness of solutions for periodic dynamical systems on compact time intervals is derived for dynamical systems evolving on compact Riemannian manifolds. Under local asymptotic (exponential) stability of the average vector field, we further relax the compactness of the ambient Riemannian manifold and obtain the closeness of solutions on the infinite time interval by employing the notion of uniform normal neighborhoods of an equilibrium point of a vector field. These results are also presented for time-varying dynamical systems where their averaged systems are almost globally asymptotically or exponentially stable on compact manifolds. The main results of the paper are illustrated by several examples.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間からリーマン多様体への非線形系の平均化手法の一般化を図ること。
• コンパクトなリーマン多様体上における、時間変動系とその平均化系との間の解の近接性を確立すること。
• 平均化系の局所的漸近的または指数的安定性を活用して、有限時間の近接性結果を無限時間区間へと拡張すること。
• 一様正規近傍や測地線の一意性といった幾何的構造を用いて、ユークリッド的およびリーマン的安定性解析の橋渡しを行うこと。
• トーラスのようなコンパクト多様体上で、理論的結果を数値例を用いて検証すること。

提案手法

• リーマン多様体上での共変微分および測地線フローを定義するためにLevi-Civita接続を用いる。
• 解の近接性を定量化するために、ユークリッド距離の代わりにリーマン距離関数を距離関数として用いる。
• 平衡点の前コンパクト近傍内において、リーマン計量をユークリッド計量で有界化するスケーリング技法の適用。
• 一意な最小化測地線の存在および指数写像の局所的単射性を保証するために、一様正規近傍を用いる。
• [16]の標準的安定性理論を、局所的負定値Lie微分を持つリャプノフ関数を活用することでリーマン設定へと適応する。
• トーラス上での力学系の数値シミュレーションにより、摂動パラメータε = 0.1およびε = 0.03の下で解の近接性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上における非線形系の平均化理論は、R^nからコンパクトなリーマン多様体へと拡張可能であり、解の近接性の結果を保持できるか？
• RQ2 平均化フレームワークにおける無限時間区間における解の近接性を保証するために、安定性の概念をリーマン多様体へとどのように適合できるか？
• RQ3 測地線の一意性や正規近傍といったリーマン多様体の幾何的性質は、どのようにユークリッド平均化結果の拡張を可能にするか？
• RQ4 平均化系の局所的漸近的または指数的安定性が、コンパクト多様体上でのグローバルまたはほぼグローバル安定性をどのように保証するか？
• RQ5 安定性および近接性解析を容易にするために、リーマン計量をどのように局所的にユークリッド計量と比較できるか？

主な発見

• コンパクトなリーマン多様体上では、平均化系が局所的漸近的または指数的安定である限り、元の系と平均化系の解は無限時間区間においてO(ε)の近接性を保つ。
• 一様正規近傍とスケーリングによるリーマン距離とユークリッド距離の局所的同等性を活用することで、無限時間区間における解の近接性が確立される。
• コンパクト多様体上では、平均化系のほぼグローバル漸近的安定性が成立すれば、εが十分に小さい限り、すべての軌道が任意に小さなδ近傍内にすべてのt ≥ t₀でとどまる。
• トーラス上での数値結果により、ε = 0.1およびε = 0.03の下で、名目系と平均化系の軌道がt ∈ [0, ∞)の間でO(ε)の近接性を保つことが確認された。
• 正規近傍内での一意な最小化測地線の存在により、リーマン距離を用いた解軌道の厳密な比較が可能となり、古典的平均化結果の拡張が可能になる。
• 局所的負定値Lie微分を持つリャプノフ関数により、平均化系の局所的安定性が保証され、これが提案された枠組みのもとで長期的な解の近接性を保証するのに十分である。