[論文レビュー] Averaging for resonant weakly nonlinear stochastic Schr\"odinger equations

Sergei Kuksin, Alberto Maiocchi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、トーラス上におけるランダムな駆動力と減衰を伴う弱非線形確率的シュレーディンガー方程式の長時間挙動を研究し、結合パラメータ $ε \to 0$ の極限において、解の分布および定常測度が、共振非線形性によって駆動される有効方程式のそれらに収束することを示している。主な結果は、有効ダイナミクスが、元の $|u|^{2q_*}u$ の単項式の共振項から導かれる非線形性 $F(u)$ を有する簡略化された方程式によって支配されることである。

ABSTRACT

We consider the free linear Schrodinger equation on a torus $\mathbb T^d$, perturbed by a hamiltonian nonlinearity, driven by a random force and damped by a linear damping: $$ u_t -i\Delta u +i u ho |u|^{2q_*}u = - u f(-\Delta) u + \sqrt u\,\frac{d}{d t}\sum_{k\in \mathbb Z^d} b_l\beta^k(t)e^{ik\cdot x} . $$ Here $u=u(t,x), x\in\mathbb T^d$, $0< u\ll 1$, $q_*\in\mathbb N$, $f$ is a positive continuous function, $ ho$ is a positive parameter and $\beta^k(t)$ are standard independent complex Wiener processes. We are interested in limiting, as $ u o0$, behaviour of distributions of solutions for this equation and of its stationary measure. Writing the equation in the slow time $ au= u t$, we prove that the limiting behaviour of the both is described by the effective equation $$ u_ au+ f(-\Delta) u = -iF(u)+\frac{d}{d au}\sum b_k\beta^k( au)e^{ik\cdot x} \, $$ where the nonlinearity $F(u)$ is made out of the resonant terms of the monomial $ |u|^{2q_*}u$. We explain the relevance of this result for the problem of weak turbulence

研究の動機と目的

• トーラス上におけるランダムな駆動力と減衰を伴う弱非線形確率的シュレーディンガー方程式の解の極限挙動を理解すること。
• 小規模な結合パラメータ $\varepsilon \to 0$ の極限における確率的方程式の定常測度を特徴付けること。
• 非線形項 $|u|^{2q_*}u$ の中で共振相互作用から生じる有効ダイナミクスを同定すること。
• この有効ダイナミクスが、非線形分散系における弱い湍流の問題においてどのように関連しているかを明確にすること。

提案手法

• 時間スケーリング $\tau = \varepsilon t$ を用いて、確率的シュレーディンガー方程式における遅い運動と速い運動を分離する。
• 線形シュレーディンガー作用素とランダムな駆動力に起因する高速振動を除去するための平均化技術を適用する。
• 元の $|u|^{2q_*}u$ の単項式における共振項を特定・分離し、極限における有効非線形性 $F(u)$ に寄与するものとする。
• 有効方程式 $\partial_\tau u + f(-\Delta)u = -iF(u) + \frac{d}{d\tau}\sum b_k\beta^k(\tau)e^{ik\cdot x}$ を導出する。ここで $F(u)$ は、共振相互作用の総合的効果を捉えている。
• ハミルトニアンの構造とノイズの性質（複素ウィーナー過程）を用いて、$ε \to 0$ の極限において平均化手続きが有効であることを保証する。
• 関数 $f$ およびノイズ係数 $b_k$ に適切な条件下で、解の分布および定常測度が、有効方程式のそれらに収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合パラメータ $\varepsilon$ が 0 に近づくとき、弱非線形確率的シュレーディンガー方程式の解の分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 小規模な $\varepsilon$ の領域における確率的方程式の定常測度の構造は何か？
• RQ3 非線形項 $|u|^{2q_*}u$ の中で、共振効果により長時間ダイナミクスに支配的となる項は何か？
• RQ4 平均化によって導かれた有効方程式は、元のシステムの本質的ダイナミクスをどのように捉えているか？
• RQ5 共振非線形性 $F(u)$ と分散系における弱い湍流現象との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $ε \to 0$ の極限において、元の確率的シュレーディンガー方程式の解の分布は、有効方程式 $\partial_\tau u + f(-\Delta)u = -iF(u) + \frac{d}{d\tau}\sum b_k\beta^k(\tau)e^{ik\cdot x}$ のそれらに収束する。
• 有効非線形性 $F(u)$ は、元の $|u|^{2q_*}u$ の単項式の共振項から明示的に構成されており、支配的長時間挙動を捉えている。
• 元の方程式の定常測度は、$ε \to 0$ の極限において、弱収束によって有効方程式の定常測度に収束する。
• 平均化手続きは、高速振動を効果的に除去しつつ、極限において系の統計的性質を保存している。
• この結果は、共振相互作用に起因するエネルギー移動メカニズムを捉えることで、弱い湍流を理解するための厳密な枠組みを提供する。
• 関数 $f$ が連続的かつ正であり、ノイズ係数 $b_k$ が適切に扱える限り、この手法は広範なノイズおよび減衰構造に適用可能である。