[論文レビュー] Averaging out Inhomogeneous Newtonian Cosmologies: II. Newtonian Cosmology and the Navier-Stokes-Poisson Equations

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|Dec 17, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非一様かつ非等方的なニュートン宇宙論におけるナビエ＝ストークス＝ポアソン方程式を、流体運動学的量の観点から定式化し、潮汐力テンソルの時間発展方程式を含む閉じた系を導出する。主な結果として、一様かつ等方的状況では、膨張スカラーのレイチャウドフリ方程式がフレリッドマン方程式と等価であることが示され、ニュートン宇宙論の枠組みが物理的に整合的であり、一般相対性理論的宇宙論と類似していることが裏付けられる。

ABSTRACT

The basic concepts and equations of Newtonian Cosmology are presented in the form necessary for the derivation and analysis of the averaged Navier-Stokes-Poisson equations. A particular attention is paid to the physical and cosmological hypotheses about the structure of Newtonian universes. The system of the Navier-Stokes-Poisson equations governing the cosmological dynamics of Newtonian universes is presented and discussed. A reformulation of the Navier-Stokes-Poisson equations in terms of the fluid kinematic quantities is given and the structure of this system of equations is analyzed.

研究の動機と目的

• ニュートン宇宙論の数学的整合性と物理的妥当性を、ナビエ＝ストークス＝ポアソン系を用いて確立すること。
• ナビエ＝ストークス＝ポアソン方程式を、流体運動学的量（膨張スカラー、歪みテンソル、渦度ベクトル、潮汐テンソル）の観点から再定式化し、宇宙論的解析を可能にする。
• 一様かつ等方的宇宙において、ニュートン的レイチャウドフリ方程式とフレリッドマン方程式が等価であることを示すこと。
• 潮汐力テンソルが、一般相対性理論における時空曲率の類似物として、運動学的系の閉じるための役割を果たすことを明確にすること。
• 初期境界値問題および境界条件（特にヘッケマン＝シュッキング条件を含む）を、宇宙論的流体配置に対して分析すること。

提案手法

• 与えられた状態方程式を有する自己重力的で可撓性があり、粘性がなく、熱伝導がないニュートン流体に対する、ナビエ＝ストークス＝ポアソン方程式の完全系を導出する。
• 膨張スカラー（θ）、歪みテンソル（σij）、渦度ベクトル（ωi）、潮汐力テンソル（Eij）といった運動学的量を用いて方程式を再定式化する。
• 潮汐力テンソル Eij の時間発展方程式を導入し、一般化されたニュートン的重力力として機能し、系を閉じる。
• ニュートン宇宙論の原理を適用し、時間に依存する密度および速度場を有する一様かつ等方的宇宙の解を導出する。
• ポアソン方程式を用いて重力ポテンシャルと質量密度の関係を定め、運動学的発展方程式からレイチャウドフリ方程式を導出する。
• スケール因子 R(t) を用いて膨張スカラーを表現することで、ニュートン的レイチャウドフリ方程式とフレリッドマン方程式を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン宇宙論におけるナビエ＝ストークス＝ポアソン方程式を、流体運動学的量の観点からどのように再定式化すれば、宇宙論的解析が可能になるか？
• RQ2 非一様かつ非等方的ニュートン宇宙において、運動学的方程式系を閉じるために潮汐力テンソルが果たす役割は何か？
• RQ3 ニュートン的レイチャウドフリ方程式が、スケール因子 R(t) のフレリッドマン方程式に還元される条件は何か？
• RQ4 一般に、ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の初期境界値問題がなぜ不適切（ill-posed）となるのか、そしてヘッケマン＝シュッキング条件が一様な状況でどのようにこれを解決するのか？
• RQ5 ニュートン宇宙論が一般相対性理論的宇宙論とどの程度物理的に類似しているのか、特に一様かつ等方的極限においては？

主な発見

• 運動学的量を用いたナビエ＝ストークス＝ポアソン方程式の系は、宇宙論的モデル化において数学的に効率的かつ物理的に妥当である。
• 重力ポテンシャルから導かれる潮汐力テンソル Eij は、一般相対性理論におけるリーマン曲率テンソルに類似した役割を果たし、系を閉じるための追加方程式を経て発展させる必要がある。
• 一様かつ等方的なニュートン宇宙では、歪みテンソル σij、渦度ベクトル ωi、および潮汐力テンソル Eij はすべて恒等的に消える。
• 膨張スカラー θ(t) のレイチャウドフリ方程式は、dθ/dt + (1/3)θ² + 4πGρ − Λ = 0 の形を取り、スケール因子 R(t) のフレリッドマン方程式と等価である。
• 膨張スカラーはスケール因子と θ = 3(Ṙ/R) の関係にある。レイチャウドフリ方程式の第一積分からフレリッドマン方程式 (32) が得られ、整合性が確認される。
• 本稿では、ニュートン的宇宙定数がゼロである一様かつ等方的な静的ニュートン宇宙が存在しないことを証明しており、相対論的期待と一致する。