[論文レビュー] Averaging principle for a class of stochastic differential equations

Wei Liu, Xiaobin Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、漂移係数が局所リプシッツ条件を満たし、時間と標本パスに依存する遅い・速い時刻スケールを有する確率微分方程式に対する平均化原理を確立する。時間離散化と打ち切り技術を用いることで、遅い成分が平均化方程式の解に強く収束することを証明し、グローバルリプシッツ仮定を越えて平均化結果を拡張する。

ABSTRACT

This paper is devoted to studying the averaging principle for stochastic differential equations with slow and fast time-scales, where the drift coefficients satisfy local Lipschitz conditions with respect to the slow and fast variables, and the coefficients in the slow equation depend on time $t$ and $\omega$. Making use of the techniques of time discretization and truncation, we prove that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation.

研究の動機と目的

• 漂移係数が局所リプシッツである遅い・速い成分を有する確率微分方程式への平均化原理の拡張を図ること。
• 遅い方程式における係数が時間 $t$ と標本パス $\omega$ に依存するという課題に対処すること。
• より緩い正則性条件の下で、遅い成分が平均化方程式の解に強く収束することを確立すること。

提案手法

• 連続時間の確率過程の近似と遅い・速いスケールの分離を管理するために時間離散化を適用すること。
• 解の成長を制御し、局所リプシッツ条件の下での安定性を保証するために打ち切り技術を用いること。
• 遅い成分の時間的挙動を、平均化方程式の解と比較することで分析すること。
• 元の過程と平均化された過程の差に対する推定を用いて収束を確立すること。
• 係数が $t$ と $\omega$ に依存するのを扱うために、注意深く経路ごとおよび確率論的議論を用いること。
• 局所リプシッツ性を活用して増分を制御し、強い意味での収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅い変数および速い変数の両方において、漂移係数が局所リプシッツである確率微分方程式に対し、平均化原理を拡張できるか？
• RQ2 遅い方程式の係数が時間 $t$ と標本パス $\omega$ に依存する場合、平均化極限にどのような影響を与えるか？
• RQ3 グローバルリプシッツ条件が成り立たない場合に、強収束を証明するために必要な技術は何か？
• RQ4 時間離散化と打ち切りが、平均化原理の収束性をどの程度保つことができるか？
• RQ5 これらの緩い条件の下で、遅い成分の解は、平均化方程式の解に強く収束するか？

主な発見

• 確率微分方程式の遅い成分は、対応する平均化方程式の解に強く収束する。
• 収束は、標準的なグローバルリプシッツ仮定を一般化する局所リプシッツ条件の下で確立される。
• 時間離散化により、遅い成分のダイナミクスが離散的区間で分析可能となり、収束の証明が容易になる。
• 打ち切り技術は、グローバルリプシッツ境界がない状況でも、解の成長を効果的に制御し、安定性を維持する。
• 時間 $t$ と標本パス $\omega$ への係数依存性を効果的に処理し、平均化原理の頑健性を保証する。
• 結果として、これまでに確立された範囲をはるかに広げた確率的システムのクラスにおいて、平均化原理の有効性が確認された。