[論文レビュー] Averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation

Zhao Dong, Xingyuan Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、乗法的ノイズによって駆動される、スローファースケールを有する1次元確率的バーガース方程式に対する平均化原理を確立する。適切な条件下で、スローモードが平均化方程式の解に強く収束することを証明し、スローモードが非確率的である場合には、任意の $0<r<1$ に対して弱収束速度 $1-r$ を示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider the averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation with slow and fast time-scales. Under some suitable conditions, we show that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation. Meanwhile, when there is no noise in the slow component equation, we also prove that the slow component weakly converges to the solution of the corresponding averaged equation with the order of convergence $1-r$, for any $0

研究の動機と目的

• スローファースケールを有する1次元確率的バーガース方程式に対する平均化原理を確立すること。
• 時間スケール分離パラメータ $\varepsilon \to 0$ の下でのスローモードの漸近的挙動を分析すること。
• 定常性およびモーメント条件の下で、スローモードが平均化方程式の解に強く収束することを証明すること。
• スローモードが非確率的である場合の弱収束領域に平均化原理を拡張し、任意の $0<r<1$ に対して明示的な収束速度 $1-r$ を得ること。

提案手法

• 空間時間白色ノイズによって駆動される、スローモード $X^\varepsilon$ とファストモード $Y^\varepsilon$ を有する確率的バーガース系を定式化する。
• ファストモードの不変測度の存在および定常性を保証するため、非線形関数 $f$ および $g$ に条件を課す。
• カシミンスキー型平均化フレームワークを用いて、スローモードの有効な平均化方程式を導出する。
• 事前モーメント推定および指数的モーメントバウンドを用いて、ソボレフノルムにおける解の成長を制御する。
• 特異性を扱うために収束解析において停止時刻 $\rho(\varepsilon)$ を用いた時間正則化技術を適用する。
• 特異核を有するグロウォールド型不等式を用いて、$X^\varepsilon$ と平均化解 $\bar{X}$ 間の誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スローファースケールを持つ確率的バーガース方程式のスローモードが、平均化方程式の解に収束するための条件は何か？
• RQ2 スローモードが非確率的であり、ノイズがファストモードにのみ存在する場合、弱収束速度は何か？
• RQ3 ファストモードのモーメント推定および定常性が、無限次元確率的偏微分方程式における平均化挙動に与える影響は何か？
• RQ4 平均化原理は、バーガース方程式のような二次非線形性を有する非線形SPDEに拡張可能か？
• RQ5 ソボレフ正則性および指数的モーメントバウンドは、このような系における収束の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• スローモード $X^\varepsilon$ は、$\varepsilon \to 0$ の下で、平均化された確率的バーガース方程式の解 $\bar{X}$ に強く収束する。
• スローモードが非確率的である場合、適切なモーメントおよび定常性条件の下で、任意の $0<r<1$ に対して弱収束速度が $1-r$ である。
• 証明は、指数的モーメントバウンドおよび $\rho(\varepsilon)$ を用いた時間正則化技術に依存し、平均化近似の誤差を制御する。
• 両方のモード（スローおよびファスト）に対して、$\theta \in (1, \frac{3}{2})$ のソボレフノルム $H^\theta$ におけるモーメント推定が確立される。
• 収束は、任意のコンパクト区間 $[0,T]$ において一様であり、誤差は $C\varepsilon t^{-\theta + \theta^2/(1+\delta)} - C\varepsilon \log \varepsilon$ で有界である。
• 本結果は、二次非線形性および乗法的ノイズを有する非線形SPDEのクラスに、古典的平均化原理を拡張する。