[論文レビュー] Averaging principle for slow-fast stochastic differential equations with time dependent locally Lipschitz coefficients

Wei Liu, Michael Röckner+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時刻に依存する局所リプシッツ連続係数をもつ遅い・速いストキャスティック微分方程式に対する平均化原理を確立する。時間離散化と打ち切り技術を用いることで、小パrameter $\epsilon \to 0$ の下で、遅い成分が $L^p(\Omega; C([0,T], \mathbb{R}^n))$ の意味で平均化方程式の解に強く収束することを証明する。これは、凍結された速いダイナミクスに対して不変測度が存在し一意であることを保証する条件下で成り立つ。

ABSTRACT

This paper is devoted to studying the averaging principle for stochastic differential equations with slow and fast time-scales, where the drift coefficients satisfy local Lipschitz conditions with respect to the slow and fast variables, and the coefficients in the slow equation depend on time $t$ and $ω$. Making use of the techniques of time discretization and truncation, we prove that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation.

研究の動機と目的

• 時刻に依存する局所リプシッツ連続係数をもつ遅い・速い確率微分方程式に対する平均化原理を確立すること。
• 係数の時間 $t$ と $\omega$ に依存する非マルコフ型の依存性に対処すること。
• 遅い成分が経路空間において平均化方程式の解に強く収束することを証明すること。
• 時刻に依存する係数のもとで、凍結された速い方程式に対して不変測度が存在し一意であることを保証すること。
• 既存の平均化結果を、グローバルリプシッツ連続でないか、時刻に依存しない（非時刻不変な）場合に一般化すること。

提案手法

• 係数の時刻依存性を扱うために時間離散化の手法を用いる。
• 局所リプシッツ連続性の成長を制御し、可積分性を保証するために打ち切り技術を適用する。
• グローバルリプシッツ連続係数をもつ近似方程式の系列を構築する。
• モーメント推定とグローバル型の議論を用いて、経路ごとの強収束を証明する。
• 凍結された速い過程の不変測度 $\mu^{t,x}$ を用いて平均化方程式を導出する。
• 確率積分と伊藤の公式を用いて、遅い成分の収束を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻に依存する局所リプシッツ連続係数をもつ遅い・速いSDEの遅い成分が、平均化方程式の解に強収束するための条件は何か？
• RQ2 係数が時間 $t$ と標本路 $\omega$ の両方に依存する系において、平均化原理をどのように拡張できるか？
• RQ3 係数が時刻に依存する場合に、ドリフト項および拡散項の局所リプシッツ連続性を扱うために必要な技術は何か？
• RQ4 時刻に依存する係数のもとで、凍結された速い方程式の不変測度 $\mu^{t,x}$ が適切に定義され、意味的に有用に使えるか？
• RQ5 このような系において、強 $L^p$ 経路空間収束の収束速度または性質は何か？

主な発見

• 遅い成分 $X^\epsilon$ は、$\epsilon \to 0$ の下で $L^p(\Omega; C([0,T], \mathbb{R}^n))$ の位相において $\bar{X}$ に強く収束する。すなわち、ある $p > 0$ に対して $\lim_{\epsilon \to 0} \mathbb{E}\left(\sup_{t \in [0,T]} |X^\epsilon_t - \bar{X}_t|^p\right) = 0$ が成り立つ。
• 平均化方程式は $d\bar{X}_t = \bar{b}(t, \bar{X}_t)dt + \sigma(t, \bar{X}_t)dW^1_t$ で与えられ、ここで $\bar{b}(t,x) = \int_{\mathbb{R}^m} b(t,x,y) \mu^{t,x}(dy)$ である。
• 適切な条件下で、凍結方程式 $dY_s = f(t,x,Y_s)ds + g(t,x,Y_s)d\tilde{W}^2_s$ に対して不変測度 $\mu^{t,x}$ が存在し一意である。
• 係数 $\bar{b}(t,x)$ が時間に依存する可積分なモジュラス $\bar{K}_t(R)$ をもつ局所リプシッツ条件を満たすことが示され、平均化SDEの経路ごとの一意性が保証される。
• 証明は、局所リプシッツ性の制御と係数成長の可積分性を保証するため、打ち切りと時間離散化に依存する。
• 収束は、$K_t(R)$ の有界性仮定の下で、$X^\epsilon$ と $\bar{X}$ の差にモーメント推定とグローバル型不等式を適用することで確立される。