[論文レビュー] Averaging principle for two dimensional stochastic Navier-Stokes equations

Shihu Li, Xiaobin Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、遅い成分が2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式、速い成分が確率的反応拡散方程式である2時間スケール系に対して、強い平均化原理を確立する。Khasminskiiの時間離散化手法を用いて、適切な条件下で、遅い成分が平均化方程式の解に強く収束することを証明した。非線形項と乗法的ノイズの影響を克服するため、停止時刻技法と初期データのSobolev正則性仮定を用いた。

ABSTRACT

The averaging principle is established for the slow component and the fast component being two dimensional stochastic Navier-Stokes equations and stochastic reaction-diffusion equations, respectively. The classical Khasminskii approach based on time discretization is used for the proof of the slow component strong convergence to the solution of the corresponding averaged equation under some suitable conditions. Meanwhile, some powerful techniques are used to overcome the difficulties caused by the nonlinear term and to release the regularity of the initial value.

研究の動機と目的

• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式を遅い成分とし、確率的反応拡散方程式を速い成分とするマルチスケール系に対して、強い平均化原理を確立すること。
• ナビエ＝ストークス方程式に顕著な非線形項と乗法的ノイズが存在する状況下での強収束の課題に対処すること。
• 初期データに対する正則性要件を緩和し、$ H^\theta $（$ \theta > 0 $）における初期値の必要性を回避することで、精密な推定を用いる。
• 古典的なKhasminskiiアプローチを非線形項と乗法的ノイズを有するSPDEに拡張し、強い意味での収束を保証すること。

提案手法

• 時間間隔 $[0,T]$ を $ \varepsilon $ に依存するサイズ $ \delta $ の部分に分割するKhasminskii時間離散化法を採用する。
• 各部分区間で遅い成分と速い成分を分離するための補助過程 $ (\hat{X}_t^\varepsilon, \hat{Y}_t^\varepsilon) $ を導入する。
• 停止時刻技法を用いて、停止時刻以前に $ |X_t^\varepsilon - \bar{X}_t| $ の差を制御し、$ |X_t^\varepsilon - \hat{X}_t^\varepsilon| $ と $ |\hat{X}_t^\varepsilon - \bar{X}_t| $ をそれぞれ評価する。
• 事前推定を適用して、停止時刻以降の差を制御し、確率的に一様収束を保証する。
• Gelfandの三重対 $ \mathcal{V} \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{V}' $ において、SPDE系の強制性と局所単調性を、Sobolevおよび $ L^4 $-ノルム推定を用いて確立する。
• 有限次元Galerkin近似と弱収束の議論を用い、SPDE定式化における係数に必要な条件の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \varepsilon \to 0 $ のとき、2次元確率的ナビエ＝ストークス系の遅い成分は、平均化方程式の解に強く収束するか？
• RQ2 古典的なKhasminskiiアプローチは、非線形ナビエ＝ストークス項と乗法的ノイズを有するSPDEに適応可能か？
• RQ3 このような系における強い平均化原理において、初期データの正則性要件はどのように緩和可能か？
• RQ4 非線形項 $ f $, $ g $ およびノイズ係数 $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ にどのような条件が強い収束を保証するか？
• RQ5 停止時刻技法と時間離散化は、収束証明における非線形項および乗法的ノイズ項をどのように制御するか？

主な発見

• 遅い成分 $ X_t^\varepsilon $ は、すべての $ p \geq 1 $ に対して $ \lim_{\varepsilon \to 0} \mathbb{E}\left( \sup_{t \in [0,T]} |X_t^\varepsilon - \bar{X}_t|^{2p} \right) = 0 $ の意味で、平均化解 $ \bar{X}_t $ に強く収束する。
• ナビエ＝ストークス方程式の非線形項の困難さは、停止時刻技法と速度差の精密な $ L^4 $-ノルム推定を用いることで克服された。
• 強制性条件は $ \langle \tilde{A}w + F(w), w \rangle + |\sigma(w)|^2_{\mathcal{L}_Q} \leq -C_\varepsilon \|w\|^2_{\mathcal{V}} + C(1 + |w|^2_{\mathcal{H}}) $ として検証され、安定性が保証された。
• 局所単調性は $ \langle \tilde{A}w_1 + F(w_1) - \tilde{A}w_2 - F(w_2), w_1 - w_2 \rangle + \allowbreak |\sigma(w_1) - \sigma(w_2)|^2_{\mathcal{L}_Q} \leq C(1 + |u_2|_{L^4}^4) |w_1 - w_2|^2_{\mathcal{H}} $ によって確立された。
• 初期データを $ H^\theta $（$ \theta > 0 $）に制限する必要を回避し、精密なパスワイズ制御により、より正則性の低い初期条件を許容する。
• 非線形項 $ f $, $ g $ およびノイズ係数 $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ に対して標準的な仮定（リプシッツ連続性および導関数の有界性）が成り立つ限り、収束結果は成立する。