[論文レビュー] Averaging Principles for Mixed Fast-Slow Systems Driven by Fractional Brownian Motion

Bin Pei, Yuzuru Inahama+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、分数 Browm motion (fBm) と標準 Browm motion (Bm) の両方によって駆動される混合速-遅い系に対して、fBm については一般化された Riemann-Stieltjes 積分、Bm については Itô 積分を用いて平均化原理を確立する。遅い成分が、速い過程の不変測度に沿った係数の平均化によって駆動される fBm を持つ限界 SDE に平均二乗収束することを証明し、モデルの簡略化と計算コストの低減を可能にする。

ABSTRACT

We focus on fast-slow systems involving both fractional Brownian motion (fBm) and standard Brownian motion (Bm). The integral with respect to Bm is the standard Ito integral, and the integral with respect to fBm is the generalised Riemann-Stieltjes integral using the tools of fractional calculus. An averaging principle in which the fast-varying diffusion process of the fast-slow systems acts as a noise to be averaged out in the limit is established. It is shown that the slow process has a limit in the mean square sense, which is characterized by the solution of stochastic differential equations driven by fBm whose coefficients are averaged with respect to the stationary measure of the fast-varying diffusion. The implication is that one can ignore the complex original systems and concentrate on the averaged systems instead. This averaging principle paves the way for reduction of computational complexity.

研究の動機と目的

• 速-遅いダイナミクスと混合された分数 Browm motion と標準 Browm motion のノイズを有する確率的系に対して、平均化原理を構築すること。
• H ≠ 1/2 の場合に半マルティンググである分数 Browm motion における確率的微積分の課題に対処するため、Zähle の分数微積分の手法を用いること。
• 速い成分の不変測度に沿って平均化された係数を持つ fBm を駆動源とする SDE として、遅い成分の極限を特定すること。
• 速い変動成分をその平均効果に置き換えることにより、複雑な混合系の簡略化のための厳密な数学的基盤を提供すること。
• 元の系をより単純な平均化された系に置き換えることにより、モデリングにおける計算複雑性を低減すること。

提案手法

• 系は、fBm によって駆動される遅い成分 Xε と、標準 Browm motion によって駆動される速い成分 Yε を持つ結合された SDE としてモデル化され、ε → 0 が時間スケール分離を表す。
• fBm に関する確率積分は、Zähle の意味における一般化された Riemann-Stieltjes 積分として解釈され、H > 1/2 の場合に微積分が可能になる。
• 速い過程 Yε は、各固定された x に対して一意な不変測度を持つと仮定され、平均化されたドラフト係数は、この不変測度に沿った b1 の期待値として定義される。
• 速い過程の相関減衰の推定と係数の Hölder 継続性を用いて、遅い過程の平均二乗収束を証明する。
• 重要な技術的ステップとして、マコフ性と指数的混合性を用いて、速い過程の共分散構造を評価し、時間相関の指数的減衰を導出する。
• 証明は、係数の十分な正則性と線形成長を保証する仮定 (H1) と (H2) に依存し、誤差を制御するために Malliavin 微積分とモーメント推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm motion と標準 Browm motion の両方によって駆動される混合速-遅い系に対して、平均化原理を確立できるか？
• RQ2 半マルティンググでない fBm の存在が、標準拡散駆動系と比較して平均化極限に与える影響は何か？
• RQ3 遅い成分が、不変測度に沿って平均化された係数を持つ fBm を駆動源とする SDE に収束するための条件は何か？
• RQ4 一般化された Riemann-Stieltjes 積分は、平均化原理の文脈において、fBm に関する確率積分をどのように定義するか？
• RQ5 速い過程の不変測度は、遅い成分の極限的挙動を特定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 遅い過程 Xε は、速い過程の不変測度に沿って平均化された係数を持つ fBm を駆動源とする SDE を解く限界過程 X̄ に平均二乗収束する。
• 極限 SDE のドラフト係数と拡散係数は、それぞれ速い成分 Yx の不変測度に沿った元の b1 と σ1 の期待値であり、平均化されたダイナミクスが適切に定義されることを保証する。
• 相関の指数的減衰に起因して、収束速度は O(ε^{β}) の誤差境界により定量的に評価され、β > 0 である。
• 速い過程の相関構造が指数的に減衰することが示され、その減衰率は速い拡散の生成子のスペクトルギャップに依存し、混合性を保証する。
• 証明により、平均化された系が元の系の長期的挙動を捉えていることが示され、モデル簡略化が正当化される。
• 結果は、Hölder 継続性、Lipschitz 条件、係数の線形成長を保証する仮定 (H1) と (H2) の下で成り立つ。これらにより、解の存在と一意性が保証される。