[論文レビュー] Averaging Problem in General Relativity, Macroscopic Gravity and Using Einstein's Equations in Cosmology

Roustam Zalaletdinov|ArXiv.org|Mar 6, 1997

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における平均化問題を解決するため、時空幾何と場の方程式を共変的に平均化するマクロスコピック重力枠組みを提案する。その結果、流体の運動量テンソルを用いた標準的宇宙論モデルが、重力場の相関を暗黙のうちに無視していることが明らかになった。主な貢献は、相関テンソルを含む閉じたマクロスコピック場の方程式系を導出したことであり、アインシュタイン方程式に完全流体源を用いることは、非線形重力効果を無視する近似であることが示された。

ABSTRACT

The averaging problem in general relativity is briefly discussed. A new setting of the problem as that of macroscopic description of gravitation is proposed. A covariant space-time averaging procedure is described. The structure of the geometry of macroscopic space-time, which follows from averaging Cartan's structure equations, is described and the correlation tensors present in the theory are discussed. The macroscopic field equations (averaged Einstein's equations) derived in the framework of the approach are presented and their structure is analysed. The correspondence principle for macroscopic gravity is formulated and a definition of the stress-energy tensor for the macroscopic gravitational field is proposed. It is shown that the physical meaning of using Einstein's equations with a hydrodynamic stress-energy tensor in looking for cosmological models means neglecting all gravitational field correlations. The system of macroscopic gravity equations to be solved when the correlations are taken into consideration is given and described.

研究の動機と目的

• 不連続的かつ不均一な宇宙にアインシュタイン方程式を適用する際の基礎的問題に取り組むために、問題をマクロスコピック重力として再定式化すること。
• アインシュタイン方程式における物質源と場演算子を一貫して共変的に時空平均化する手続きを開発すること。
• 宇宙論において流体的運動量テンソルを用いることの物理的意味を明確にし、重力場相関を無視することに相当することを示すこと。
• 相関テンソルを含むマクロスコピック場の方程式を導出し、その構造を分析することで、大スケール重力のより包括的な記述を提供すること。
• マクロスコピック重力の対応原理を確立し、マクロスコピック重力場の運動量テンソルを定義すること。

提案手法

• カルタンの構造方程式に共変的時空平均化手続きを適用し、マクロスコピック時空の幾何を導出する。
• 相関テンソル $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ および $ U^{etaeta} $ を含む、平均化されたアインシュタイン方程式（マクロスコピック場の方程式）を導出する。これらは非線形重力相関を符号化する。
• アフィン接続幾何のシュアウトエン分類を適用し、特定の仮定のもとで計量と非計量部の分離を保証する。
• 計量と接続の間の相関がゼロ（条件15による）であると仮定することで、平均化されたアインシュタイン方程式の簡略化かつ一貫性のある定式化が可能になる。
• 方程式系を二段階で解く：まずリーマン的誘導場 $ G_{etaeta} $ と相関場 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ を解き、次に非リーマン的部品 $ ar{r}^{eta}_{eta au au} $、$ A^{eta}_{eta au} $、$ N_{eta au au} $、$ R^{eta}_{eta au au} $ を含む部分を解く。
• 物理的測定をモデル化するための一点平均形式を用い、理論が観測的に根拠を持ち、宇宙論的進化に適用可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空が不均一な物質分布に対して平均化されたとき、重力の正しいマクロスコピック形式は何か？ そして、標準的アインシュタイン方程式とはどのように異なるか？
• RQ2 宇宙論的モデルで流体的運動量テンソルを用いることの物理的意味は何か？ そのアプローチによって無視される重力効果は何か？
• RQ3 一般相対性理論の非線形的かつ非平坦な性質を考慮すると、アインシュタイン方程式の場演算子を一貫して平均化する方法は何か？
• RQ4 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ のようなテンソルに符号化された重力場相関は、大スケール宇宙力学において果たす役割は何か？
• RQ5 幾何学的場と相関場を含む、閉じたマクロスコピック重力方程式系を導出できるか？ その物理的解釈は何か？

主な発見

• 宇宙論においてアインシュタイン方程式に流体的運動量テンソルを用いることは、相関テンソル $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $ に符号化されたすべての重力場相関を暗黙のうちに無視していることになる。
• 共変的平均化から導かれたマクロスコピック場の方程式は、アインシュタイン方程式の形を保ちつつ、追加の相関項を含む。これは、標準的方程式が極限的状態であることを示している。
• マクロスコピック計量 $ G_{etaeta} $、相関場 $ Z^{eta}_{eta[ ho}{}^{ u}{}_{ u au]} $、および $ U^{etaeta} $ の閉じた方程式系が確立され、一貫性のあるマクロスコピック重力理論が構築された。
• 理論における計量部と非計量部の分離は、二つの仮定に起因する：平均化された曲率がリーマン曲率テンソルのままであること、および計量-接続相関がゼロであること。これらは幾何的一致性を保つ。
• 理論は、マクロスコピック重力を一点平均を伴う古典的理論として物理的に解釈可能であり、物質と放射が平衡状態にある場合の宇宙論的進化に適用可能である。
• この枠組みは、宇宙論に非線形重力効果を体系的に組み込む方法を提供し、完全流体近似を超えてフレリッジ＝ロバートソン・ウォーカー宇宙モデルを再評価する基盤を提供する。