[論文レビュー] Avoid First Order Quantum Phase Transition by Changing Problem Hamiltonians

Vicky Choi|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、NP困難な最大独立集合（MIS）問題に対する量子アニーリングにおける問題ハミルトニアンの再パrameter化——特に頂点重みのスケーリング——により、1次量子相転移（FQPT）を回避でき、最小スペクトルギャップが顕著に増大することを示している。15頂点のCKグラフ（局所最良解が指数的に多数存在する）において、数値的結果から最小ギャップが指数的に小さい値から多項式的に大きな値に増大することが示され、問題インスタンスを変更せずに効率的な断熱的遷移が可能になる。

ABSTRACT

In Amin and Choi \cite{AC09}, we show that an adiabatic quantum algorithm for the NP-hard maximum independent set (MIS) problem on a set of special family of graphs in which there are exponentially many local maxima would have the exponentially small minimum spectral gap and thus would require the exponential time, due to the first order quantum phase transition (FQPT). The problem Hamiltonian of the adiabatic quantum algorithm for MIS is based on the reduction to the Ising problem and has flexible parameters. In this paper, we show numerically on the 15-vertex graph that by choosing the parameters appropriately in the problem Hamiltonian (without changing the problem to be solved) for MIS, we can prevent the FQPT and drastically increase the minimum spectral gap. The result is further supported by visualization from the Decomposed State Evolution Visualization (\desev) --- a visualization tool we introduced. Furthermore, our result also serves to concretely clarify that it is not sufficient to consider one specific problem Hamiltonian for proving the failure of adiabatic quantum optimization for a problem. We also raise the basic question about what the appropriate formulation of adiabatic running time should be.

研究の動機と目的

• 断熱的量子最適化における1次量子相転移（FQPT）が、問題ハミルトニアンのパrameter調整によって回避可能かどうかを調査すること。
• 従来、断熱的アルゴリズムの失敗を引き起こすとされてきたFQPTに起因する指数的に小さいスペクトルギャップが、問題インスタンスを変更せずに緩和可能であることを実証すること。
• 数値的シミュレーションと可視化ツールを用いて、パラメータ再重み付けの有効性を検証すること。
• 特定の断竣工的アルゴリズムが失敗することは、同様のNP困難問題に対するすべての断竣工的手法が本質的に困難であると仮定することの妥当性を疑問視すること。
• 新規な可視化ツールを用いて量子状態の時間発展を分析することで、効率的な断竣工的量子アルゴリズムの設計に役立つ知見を提供すること。

提案手法

• 著者らは、頂点重みをパrameter kでスケーリングすることで、問題ハミルトニアンを再パラメータ化し、問題のエネルギー状態を変更せずにエネルギーランドスケープを効果的に変更している。
• 断竣工的遷移パラメータ s の関数として、システムハミルトニアンの固有値を数値的に対角化してスペクトルギャップを計算している。
• 最小スペクトルギャップ g_min は断竣工的実行時間の主要な制約要因であり、その振る舞いをさまざまなスケーリング要因 k の下で分析している。
• 新たな可視化ツール「分解状態時間発展可視化（DeSEV）」を用いて、基底状態および第一励起状態の時間発展を追跡し、回避された準位クロッシングやFQPTの兆候を明らかにしている。
• FQPTの影響を明確に分離するため、MIS問題において指数的に多数の局所最良解を持つ特殊に構築された15頂点のCKグラフを対象としている。
• FQPTの抑制に最も適したパラメータ選択を特定するため、複数のスケーリングパラメータ k（k=1,2,3,5,10,50）の下での結果を比較している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題ハミルトニアンのパラメータ調整によって、断竣工的量子最適化における1次量子相転移を回避可能か？
• RQ2 指数的に多数の局所最良解を有するインスタンスにおいて、問題ハミルトニアンの再パラメータ化が最小スペクトルギャップを顕著に増大させるか？
• RQ3 問題ハミルトニアンのパラメータ選択が、断竣工的量子アルゴリズムにおけるFQPTの発生に及ぼす影響はどの程度か？
• RQ4 DeSEVのような可視化ツールは、回避された準位クロッシングやスペクトルギャップの抑制のメカニズムを解明する手がかりを提供できるか？
• RQ5 ある断竣工的アルゴリズムの失敗を、同様のNP困難問題に対するすべての断竣工的手法に一般化するのは妥当か？

主な発見

• 指数的に多数の局所最良解を有する15頂点のCKグラフにおいて、元の問題ハミルトニアンは指数的に小さい最小スペクトルギャップを示し、FQPTと指数的断竣工的実行時間を示唆している。
• k=50で頂点重みをスケーリングすることで、最小スペクトルギャップが指数的に小さい値から多項式的に大きな値に増大し、FQPTの抑制が確認された。
• DeSEV可視化により、最適パラメータ設定下ではFQPTに特徴的な回避された準位クロッシングが消失し、基底状態および第一励起状態の滑らかな時間発展が観察された。
• 本研究では、特定の断竣工的アルゴリズムがFQPTによって失敗しても、同問題に対する断竣工的アルゴリズム全般が本質的に困難であるとは限らないことが示された。
• 結果から、問題ハミルトニアンのパラメータチューニングが、断竣工的量子最適化の性能向上に有効な戦略である可能性が示唆された。
• パラメータチューニングによって最小スペクトルギャップのスケーリングが変化することを踏まえ、断竣工的実行時間は最小スペクトルギャップの逆数にのみ依存するべきかどうか、根本的な疑問が提起された。