[論文レビュー] Avoiding order reduction when integrating diffusion-reaction boundary value problems with exponential splitting methods

I. Alonso-Mallo, B. Cano+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非同次ディリクレ、ノイマン、ロビン境界条件を伴う拡散反応境界値問題を解く際の指数型分割法における次数低下を防止する新規手法を提案する。境界補正を正確に実装する指数型積分法とKrylovに基づく行列関数を用いて時間積分プロセスを修正することで、一般の空間離散化および滑らかさの仮定のもとで、Lie-Trotter分割では1次、Strang分割では2次という完全な収束次数を回復する。

ABSTRACT

In this paper, we suggest a technique to avoid order reduction in time when integrating reaction-diffusion boundary value problems under non-homogeneous boundary conditions with exponential splitting methods. More precisely, we consider Lie-Trotter and Strang splitting methods and Dirichlet, Neumann and Robin boundary conditions. Beginning from an abstract framework in Banach spaces, a thorough error analysis after full discretization is performed and some numerical results are shown which corroborate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 非同次境界条件を伴う非線形拡散反応問題を解く指数型分割法における、長年の問題である次数低下を解消すること。
• 非同次境界条件を伴う線形問題に関する先行研究を、非線形反応拡散系に拡張すること。
• 一般の空間離散化および最大ノルムにおける厳密な誤差解析を提供し、広範な適用可能性を保証すること。
• Lie-TrotterおよびStrang分割法における境界補正を組み込んだ正確な式を導出することで、実装可能性を確保すること。
• 完全な空間時間離散化後の局所誤差およびグローバル誤差において、完全な収束次数が保持されることを示すこと。

提案手法

• 微分作用素Aおよび境界作用素∂を用いた抽象的バナッハ空間枠組みで問題を定式化し、一般のPDEを扱えるようにする。
• 非同次境界データを処理するため、リゾルベント作用素K(z)を用いた補正機構を導入する。
• 境界条件∂u = g(t) を満たす抽象的問題u' = Au + f(t,u) に対して、Lie-TrotterおよびStrang分割を適用し、修正された時間ステップ式を導出する。
• Krylov型手法を用いて、行列関数e^{kA}およびφ関数φ₁(kA)、φ₂(kA)を効率的かつ安定的に計算する。
• Lie-TrotterおよびStrang分割法の両方について、境界補正を組み込んだ正確な更新式を導出する：Lie-Trotterには式(75)–(76)、Strangには式(95)、(97)、(99)を用いる。
• 有限差分空間離散化にこの手法を適用し、ブロック対角構造を活用して計算効率を高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次ディリクレ、ノイマン、ロビン境界条件を伴う非線形拡散反応問題に対して、指数型分割法における次数低下を回避できるか？
• RQ2 境界条件が非同次のとき、標準的なLie-TrotterおよびStrang分割法にどのような修正を加えることで、時間方向の完全な収束次数を維持できるか？
• RQ3 完全な空間時間離散化後の誤差はどのように振る舞い、グローバル誤差の次数が保持される条件は何か？
• RQ4 Krylov部分空間技法を用いた効率的な行列関数評価が可能であり、実用的に実装可能か？
• RQ5 一般の空間離散化、特に有限差分法やコロケーション法に対しても、理論的誤差解析が成立するか？

主な発見

• 提案手法は、非同次境界条件を伴う非線形拡散反応問題に対して、Lie-TrotterおよびStrang指数型分割法の両方で次数低下を効果的に回避する。
• Lie-Trotter分割では、グローバル誤差が1次収束し、局所誤差も1次収束する。k = 5×10⁻³、2.5×10⁻³、1.25×10⁻³の数値実験により確認された。
• Strang分割では、空間離散化に関する境界(91)が満たされている場合、グローバル誤差が2次収束する。表8の収束次数1.9560および1.8946から明らかである。
• Strang分割の局所誤差は2次収束（次数1.8169および1.8307）を示しており、理論的次数が保持されていることが示された。
• 空間作用素のブロック三重対角構造を活用することで、N×Nブロックを用いた高速な行列ベクトル乗算が可能となり、計算が効率的である。
• 表7および表8の数値結果により、1次元および2次元問題において、2次精度有限差分法を用いた場合に理論的収束次数が達成されていることが確認された。