[論文レビュー] Avoiding two consecutive blocks of same size and same sum over $\mathbb{Z}^2$

Rao, Michaël, Rosenfeld, Matthieu|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、3文字アルファベット上の無限語を構成することにより、Z² が一様に2反復的でないことを証明している。この構成では、アーベリアン平方を周期5より大きいものに避けるための新しいアルゴリズムを用い、モーフィック語のアーベリアン平方自由性を検証している。構成は特定のモーフィズム h₆ に依存しており、Z² 上の加法的平方自由性および長い2アーベリアン平方の回避へと拡張され、3文字アルファベット上でのアーベリアン平方回避に関するマケルァの問題の弱い形を解決する。

ABSTRACT

A long standing question asks whether $\mathbb{Z}$ is uniformly 2-repetitive [Justin 1972, Pirillo and Varricchio, 1994], that is, whether there is an infinite sequence over a finite subset of $\mathbb{Z}$ avoiding two consecutive blocks of same size and same sum or not. Cassaigne \emph{et al.} [2014] showed that $\mathbb{Z}$ is not uniformly 3-repetitive. We show that $\mathbb{Z}^2$ is not uniformly 2-repetitive. Moreover, this problem is related to a question from Mäkelä in combinatorics on words and we answer to a weak version of it.

研究の動機と目的

• Z が一様に2反復的であるかどうかという長年の未解決問題を Z² に拡張する。
• 3文字アルファベット上での周期 ≥2 のアーベリアン平方回避に関するマケルァの問題の弱い形に対する構成的解決を提供する。
• 有限アルファベット上でのモーフィック語のアーベリアン平方自由性を検証するための新しいアルゴリズムを開発・適用する。
• Z² 上で加法的平方を避ける無限語の存在を確立する。
• 決定可能性技術を、モーフィック系列における加法的および長いアーベリアン累乗の取り扱いに拡張する。

提案手法

• モーフィック語がアーベリアン累乗を避けるかどうかを決定する新しいアルゴリズムを導入し、h₆ のような複雑なモーフィズムを含む一般化された手法を拡張する。
• 6文字のアルファベット上で定義されたモーフィズム h₆ を用いて、無限固定点 h₆^ω(a) を生成し、アルゴリズムを用いてそれがアーベリアン平方自由であることを証明する。
• パリク・ベクトルに基づく行列表現 FΦ を用いて、語を Z² に写像し、加法的 k 乗の分析を可能にする。
• アルゴリズムを用いて、計算された上限（44）までのすべての部分語をチェックすることで、固定点 h₆^ω(a) が Φ に関して加法的平方を避けることを検証する。
• 可逆行列かつ単位特徴値をもつ h₈ と呼ばれる第二のモーフィズムを構築し、追加のアーベリアン平方自由語を生成する。
• g₃ を含むモーフィズムの合成を用いて、周期が5より大きいアーベリアン平方を避ける語を生成し、マケルァの問題の弱い形に対する答えを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3文字アルファベット上での無限語が、周期が5より大きいアーベリアン平方を避けることは可能か？
• RQ2 Z² は一様に2反復的であるか、すなわち、Z² の有限部分集合上の任意の無限語が加法的平方を含むか？
• RQ3 複雑な構造と非自明なパリク写像をもつモーフィズムに対し、アーベリアン累乗自由性の決定可能性を拡張できるか？
• RQ4 {0,1,2,3} 上で加法的立方を避ける無限語が存在するか、あるいはこのアルファベットが障害的か？
• RQ5 2アーベリアン平方の周期が大きい場合、モーフィック構成を用いて2文字アルファベット上で回避可能か？

主な発見

• Z² は一様に2反復的でない。これは、加法的平方を避ける3文字アルファベット上の無限語の存在によって示された。
• 固定点 h₆^ω(a) はアーベリアン平方自由である。これは、長さ44までのすべての部分語をチェックする新しいアルゴリズムによって検証された。
• モーフィズム h₆ は {a,b,c,d,e,f} 上の無限語を生成し、アーベリアン平方を避ける性質を持つ。この性質はモーフィック像のもとで保存される。
• 3文字のアルファベット上での無限語が、周期が5より大きいアーベリアン平方を避けることができ、マケルァの問題の弱い形に対する肯定的解答が得られた。
• モーフィズム Φ の下で、Z² 上で加法的平方自由な語が存在し、Z² が一様に2反復的でないことが確認された。
• 構成された語 h₂(g₃(h₆^ω(a))) は周期が60より大きい2アーベリアン平方を避けることができ、長い2アーベリアン平方がモーフィック合成によって回避可能であることを示した。