[論文レビュー] Axiomatization of Mechanics

T. F. Kamalov|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、高階微分力学およびマハの原理を導入することで、古典的・量子的・相対論的力学を統一する公理的枠組みを提案する。一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、それらの項が非局所的隠れ変数として機能し、ベルの不等式における最大 √2 の破れを再現することを示す。

ABSTRACT

The problem of axiomatization of physics formulated by Hilbert as early as 1900 and known as the Sixth Problem of Hilbert is nowadays even more topical than at the moment of its formulation. Axiomatic inconsistency of classic, quantum, and geometrized relativistic physics of the general relativistic theory does not in the least fade away, but on the contrary, becomes more pronounced each year. This naturally evokes the following questions: 1. Is it possible, without drastically changing the mathematics apparatus, to set up the axiomatics of physics so as to transform physics, being presently a multitude of unmatched theories with inconsistent axiomatics, into an integrated science? 2. Is it possible, maybe through expanding their scopes, to generalize of transform the existing axiomatics into an integral system of axioms in such a manner that existing axiomatics of inconsistent theories would follow there from as a particular case?

研究の動機と目的

• 古典的・量子的・相対論的物理学の間で一貫しない公理的体系の長年の問題を解決すること。
• 根本的な数学的再構築を伴わずに、既存の物理理論を統合的・一貫した公理的体系に一般化すること。
• 一貫性と説明力は保ちつつ、公理の数を最小限に抑えること。
• 動力学における高階微分項が、量子非局所性を説明する非局所的隠れ変数として機能することを示すこと。
• 観測者に依存する慣性状態とマハの原理に基づく大規模構造依存性に基づく運動学的原理を確立すること。

提案手法

• 高階微分を含む微分方程式で定義される一般化された運動学的状態を導入：F(x, ˙x, ̈x, ..., ˙x^(n)) = 0。
• 運動学的原理を提唱：自由粒子の運動は観測者に依存し、状態が相互作用によって変化するまで持続する。一定の高階微分が慣性的挙動を定義する。
• 高階微分を含む変分法を用いて、実際の（非慣性的）参照系における一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式を導出：∑_{n=0}^{N} (-1)^n d^n/dt^n (∂L/∂˙x^(n)) = 0。
• 曲がった空間における共変微分を用いて形式を非慣性的および相対論的状況に拡張し、高階時間微分を表す D^(k) 演算子を導入する。
• 時間的・空間的に一様な分布を仮定したランダム計量 h_{ik} を用いて、確率的重力場／慣性場をモデル化する。
• 弱い重力場における偏光ベクトルの相関関数を計算し、|M| = |cosθ| が得られ、ベルの観測量 S が最大 √2 に達することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階微分力学とマハの原理を用いて、古典的・量子的・相対論的力学の統一的公理的体系を構築可能か？
• RQ2 ラグランジアンにおける高階微分項が、量子もつれを説明する非局所的隠れ変数として機能するか？
• RQ3 マハの原理と高階微分不変量が示唆するように、自由粒子の運動学的状態は真に観測者に依存するか？
• RQ4 実際の（非慣性的）参照系における一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式が、既知の物理法則の極限として再現可能か？
• RQ5 重力場の確率的曲率モデルが、ベルの不等式と整合する量子的相関を生み出すか？

主な発見

• 高階微分を含む系における一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式は ∑_{n=0}^{N} (-1)^n d^n/dt^n (∂L/∂˙x^(n)) = 0 であり、実際の（非慣性的）参照系でも成立する。
• 慣性系では高階微分項が消え、形式は標準的なニュートン力学またはラグランジュ力学に還元される。
• 確率的曲がった空間における偏光ベクトルの相関は |M| = |cosθ| を示し、量子力学的予測と一致する。
• 偏光子間の角度が π/4 に設定されたとき、ベルの観測量 S の最大値は √2 に達し、量子非局所性が確認される。
• ラグランジアンにおける高階微分項が非局所的隠れ変数として機能し、非局所性の仮定なしに量子もつれを説明可能である。
• 本モデルは、確率的計量とマハの原理を用いた古典的・変分的枠組み内で、量子力学的結果、特にベル相関を再現する。