[論文レビュー] Axiomatizing mathematical conceptualism in third order arithmetic

Nik Weaver|ArXiv.org|May 11, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、三階算術における数学的概念主義の形式的公理化を提示し、集合論の形而上的な過剰を避ける構成的で反プラトン主義的な主流数学の基礎を提供する。標準的な数学が完成した無限集合を仮定せずに、直感主義論理と超限的構成を用いて、関数解析の核となる結果—例えば双対単位球の弱*コンパクト性やゴールズトインの定理—を証明できることを示している。

ABSTRACT

We review the philosophical framework of mathematical conceptualism as an alternative to set-theoretic foundations and show how mainstream mathematics can be developed on this basis. The paper includes an explicit axiomatization of the basic principles of conceptualism in a formal system CM set in the language of third order arithmetic.

研究の動機と目的

• 集合論が数学の基礎としての支配的立場を占める理由を、その哲学的欠陥と主流数学における実用的無関係性を暴露することで、挑戦すること。
• 完成した無限集合を仮定しないが、構成可能な数学的対象（超限的長さのものでさえも）を唯一認める数学的概念主義に基づく形式的体系CMを構築すること。
• 関数解析の核となる結果—例えば弱*コンパクト性やゴールズトインの定理—が、完成した無限集合を仮定せずにこの枠組み内で証明可能であることを示すこと。
• 直感主義論理と可算な稠密部分集合が十分であることを示し、非分離的または非可算な構成に依存しないこと。
• 実数直線や他の非可算構造は、概念主義においては完全に実現可能ではなく、完成したのではなく「未完成」として扱われることを主張すること。

提案手法

• 数学的概念主義を予言的数学の洗練版として採用し、三階算術の言語において形式的体系CMを構築する。
• 超限的構成を認め、個々の実数（例えばデデキンド切断として）を構成可能であるが、実数直線全体を完成した対象としては認めない。
• すべての実数にわたる量化に直感主義論理を用いることで、非可算構造の不完全さ・未完成性を反映する。
• バナッハ空間の分離性を活用し、量化子を可算な稠密部分集合に制限することで、上界や下界が構成的に存在することを保証する。
• 弱*コンパクト性の証明は、汎関数の列に対する対角線法に依拠し、空間の可算な稠密部分集合での収束にのみ依存する。
• ゴールズトインの定理は、第二双対空間の個々の要素が元の空間の要素によって弱*で近似可能であることに焦点を当てて再定式化され、第二双対空間全体を構成しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主流数学は、特に冪集合公理の全能力に依存せずに展開可能か？
• RQ2 関数解析は、完成した無限集合を避ける構成的で反プラトン主義的な枠組みでどの程度形式化可能か？
• RQ3 実数直線や他の非可算構造は、それらの完成を形而上的に不適切とみなす基礎的体系において、いかに扱えるか？
• RQ4 弱*コンパクト性やゴールズトインの定理といった主要定理は、可算的・構成可能な対象と直感主義論理のみを用いて証明可能か？
• RQ5 分離性と稠密部分空間は、概念主義的数学における構成的証明を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 任意の分離可能なバナッハ空間の双対空間の閉単位球は、可算な稠密部分集合上で対角線法を用いてCM内で弱*列コンパクトであると証明可能である。
• ゴールズトインの定理は、第二双対空間の個々の要素が元の空間の要素によって弱*で近似可能であることに焦点を当てて再定式化され、CM内で証明可能である。
• CMにおけるゴールズトインの定理の証明は、線形汎関数が関数φのノルム境界に反するという仮定のもとで、R^nにおける分離論法に依拠している。
• 体系CMは非分離空間の第二双対を構成できないが、E'が分離可能な場合にはE''の個々の要素についての議論は可能である。
• 実数直線は未完成で完全に実現可能でない構造として扱われ、直感主義論理と超限的構成原理と整合的である。
• 実数にわたる量化に直感主義論理を用いることは、非可算構造が把握可能ではなく完全に構成されていないという概念主義的見解を反映している。