[論文レビュー] Axiomatizing rational power series

Stephen L. Bloom, Zoltán Ésik|ArXiv.org|Dec 9, 2007

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、拡張自然数の有理形式級数の半環 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ が、$1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, および $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ の三つの追加恒等式を満たす反復半環の多様体において、自由対象であることを確立する。また、Kozenの正規言語の公理化を非冪等的かつ重み付き構造へ拡張することで、無限を含む有理形式級数の有限な等式公理化を提供する。

ABSTRACT

Iteration semirings are Conway semirings satisfying Conway's group identities. We show that the semirings $\N^{ at}\llangle Σ^* rangle$ of rational power series with coefficients in the semiring $\N$ of natural numbers are the free partial iteration semirings. Moreover, we characterize the semirings $\N_\infty^{ at}\llangle Σ^* rangle$ as the free semirings in the variety of iteration semirings defined by three additional simple identities, where $\N_\infty$ is the completion of $\N$ obtained by adding a point of infinity. We also show that this latter variety coincides with the variety generated by the complete, or continuous semirings. As a consequence of these results, we obtain that the semirings $\N_\infty^{ at}\llangle Σ^* rangle$, equipped with the sum order, are free in the class of symmetric inductive $^*$-semirings. This characterization corresponds to Kozen's axiomatization of regular languages.

研究の動機と目的

• Kozenの正規言語の公理化を、有理形式級数を用いて非冪等的かつ重み付き構造へ拡張すること。
• 半環 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ が反復半環の多様体における自由対象であることを特徴づけること。
• 無限を含む反復半環の多様体が、完全（連続的）半環の多様体と一致することを示すこと。
• $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ が和順序に関して対称帰納的 ∗-半環のクラスにおいて自由に生成されることを確立すること。
• $\mathbb{N}_{\infty}$ に係数をとる有理形式級数の有限な等式公理化を提供することにより、Salomaa および Kozen の結果を重み付きオートマトンおよび形式的級数へ一般化すること。

提案手法

• 無限の点を加えた $\mathbb{N}$ の完備化である $\mathbb{N}_{\infty}$ を用いて、有理形式級数における無限の重みをモデル化する。
• 反復半環の理論およびコンウェイ半環の恒等式を用いて、有理級数におけるスター演算を定義する。
• $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ における和順序を導入し、帰納的 ∗-半環および対称帰納的 ∗-半環を定義する。
• 恒等式 $1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, および $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ を満たす反復半環の多様体における自由対象が $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ であることを証明する。
• このような反復半環の多様体が完全（連続的）半環の多様体と一致することを確立する。
• 準同型拡張定理を用いて、任意の関数 $\Sigma \to$ 対称帰納的 ∗-半環が $a1^{*} \leq 1^{*}a$ を満たすとき、$\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ からその半環への ∗-半環準同型に一意に拡張されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が拡張自然数 $\mathbb{N}_{\infty}$ である有理形式級数の等式公理化は何か？
• RQ2 無限を含む反復半環の多様体における自由対象は、対称帰納的 ∗-半環とどのように関係するか？
• RQ3 恒等式 $1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, および $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ を満たす反復半環の多様体は、完全半環の多様体として特徴づけられるか？
• RQ4 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ は和順序に関して対称帰納的 ∗-半環のクラスにおいて自由に生成されるか？
• RQ5 $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ が、任意の帰納的 ∗-半環 $S$ に $a1^{*} \leq 1^{*}a$ を満たす場合に、準同型拡張性質を満たすか？

主な発見

• $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ は、恒等式 $1^{*}1^{*}=1^{*}$, $1^{*}a=a1^{*}$, および $1^{*}(1^{*}a)^{*}=1^{*}a^{*}$ を満たす反復半環の多様体における自由対象である。
• この反復半環の多様体は、完全（連続的）半環の多様体と等価である。
• $\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ は、和順序を備えた対称帰納的 ∗-半環のクラスにおいて $\Sigma$ によって自由に生成される。
• 任意の帰納的 ∗-半環 $S$ が $a1^{*} \leq 1^{*}a$ を満たすとき、任意の関数 $h: \Sigma \to S$ は一意に $h^\sharp: \mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle} \to S$ への ∗-半環準同型に拡張される。
• 準同型 $h^\sharp$ は和順序を保存する。つまり、$\mathbb{N}_{\infty}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ 内で $s \leq s'$ ならば $h^\sharp(s) \leq h^\sharp(s')$ が成り立つ。
• 有限な $k \geq 1$ に対して、半環 $\mathbf{k}^{{\rm rat}}{\langle\kern-1.99997pt\langle}\Sigma^{*}{\rangle\kern-1.99997pt\rangle}$ は、恒等式 $k = k + 1$ を満たす $\Sigma$ 上の自由帰納的 ∗-半環および自由対称帰納的 ∗-半環の両方である。