[論文レビュー] Axioms of adaptivity for separate marking

Carsten Carstensen, Hella Rabus|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2016

Manufacturing Process and Optimization参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、分離マークを用いた適応型有限要素法のための抽象的公理を確立し、局所的誤差推定子に基づく refinement とデータ近似誤差に基づく refinement が支配的かどうかに応じて選択される。混合および最小二乗有限要素法における最適収束速度を示すために、従来の枠組みを一般化し、標準的な推定子の減少性を満たさない場合でも最適適応性を保証する新たな公理を導入する。

ABSTRACT

Mixed finite element methods with flux errors in $H(div)$-norms and div-least-squares finite element methods require a separate marking strategy in obligatory adaptive mesh-refining. The refinement indicator $σ^2(\mathcal T,K)=η^2(\mathcal T,K)+μ^2(K)$ of a finite element domain $K$ in an admissible triangulation $\mathcal T$ consists of some residual-based error estimator $η(\mathcal T,K)$ with some reduction property under local mesh-refining and some data approximation error $μ(K)$. Separate marking means either Dörfler marking if $μ^2(\mathcal T) \leq κη^2(\mathcal T)$ or otherwise an optimal data approximation algorithm runs with controlled accuracy as established in [Carstensen, Rabus, Math.Comp. 2011; Rabus, J.Numer.Math. 2015]. The axioms are abstract and sufficient conditions on the estimators $η(\mathcal T,K)$ and data approximation errors $μ(K)$ for optimal asymptotic convergence rates. The enfolded set of axioms simplifies \cite{CFP14} for collective marking, treats separate marking established for the first time in an abstract framework, generalizes [Carstensen, Park, SIAM J.Numer.Anal. 2015] for least-squares schemes, and extends [Carstensen, Rabus, Math.Comp. 2011] to the mixed FEM with flux error control in $H(div)$.

研究の動機と目的

• 分離マークを用いた適応型有限要素法の一般的抽象的枠組みを構築すること。ここで、refinement は残差誤差またはデータ近似誤差が支配的かどうかに依存する。
• H(\operatorname{div})-ノルムのフラックス誤差とデータ近似項を含む問題における最適収束速度を保証する十分条件となる公理を同定すること。
• 集合的マークの既存の収束理論を分離マークに一般化すること、特に混合および最小二乗有限要素法に適用する。
• 標準的な推定子の減少性が成立しないが、準単調性（quasimonotonicity）が成立する問題における最適収束のための基盤を提供すること。

提案手法

• 2ケースの適応的アルゴリズムを導入：ケース(A)では残差誤差推定子 $ \eta $ に対して D"{o}rfler マークを適用し、ケース(B)では閾値 $ \kappa $ に基づきデータ誤差 $ \mu $ に対して最適なデータ近似アルゴリズムを適用する。
• 残差誤差推定子 $ \eta $ に対する抽象的公理 (A1)–(A4) を提案し、[CFPP14] の結果を一般化する。また、データ近似誤差 $ \mu $ に対する (B1)–(B2) を導入し、準単調性（QM）を含む。
• refinement の指標として $ \sigma^2(\mathcal{T},K) = \eta^2(\mathcal{T},K) + \mu^2(K) $ を定義し、$ \mu^2(\mathcal{T}) \leq \kappa \eta^2(\mathcal{T}) $ に従って分離マークを適用する。
• mesh のサイズと誤差の削減に関する境界を満たすように、制御されたデータ近似誤差を達成するためのサブルーチン $ \texttt{appx}(\text{Tol}, \mu(K)) $ を用いる。
• H(\operatorname{div})-ノルムのフラックス誤差を伴う混合有限要素法と最小二乗有限要素法の2つのモデル問題にこの枠組みを適用する。
• 最小二乗FEMにおける離散版の信頼性推定式 (A3) を含む公理の検証により、最適収束速度を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離マークを用いた適応型有限要素法のための一般的抽象的枠組みを構築できるか。ここで、refinement は残差誤差またはデータ近似誤差の支配に従う。
• RQ2 残差誤差とデータ近似誤差を分離する適応スキームにおいて、最適収束速度を保証するのに十分な抽象的公理は何か。
• RQ3 標準的な推定子の減少性が成立しない場合でも、H(\operatorname{div})-ノルムのフラックス誤差制御が可能な混合有限要素法で、最適収束を達成する方法は何か。
• RQ4 標準的な減少性を満たさないが、準単調性を満たすデータ近似項を含む枠組みは、どの程度対応可能か。
• RQ5 これらの公理は、集合的マークおよび最小二乗FEMにおける既存の結果をどの程度一般化するか。

主な発見

• 本稿では、公理 (A1)–(A4) および (B1)–(B2)（特に準単調性（QM）を含む）の下で、分離マークを用いた SAFEM アルゴリズムが最適収束速度を達成することを証明する。
• 最小二乗有限要素法では、誤差推定子 $ \eta $ とデータ誤差 $ \mu $ がすべての公理を満たし、特に (A3) が離散形で成立するため、最適収束が保証される。
• データ近似サブルーチン $ \texttt{appx} $ は D"{o}rfler マークまたは [BDdV04] のアルゴリズムによって実装可能であり、$ \mu $ が標準的な減少性を満たさない場合でも最適誤差制御が可能である。
• 本枠組みは [CFPP14] および [CR11] の既存結果を一般化し、H(\operatorname{div})-ノルム制御を伴う混合FEMおよび最小二乗FEMに拡張する。
• 非線形近似クラスや効率性推定に依存せずに最適収束が可能であるため、解析が簡素化される。
• 解析により、最小二乗FEMの $ H(\operatorname{div}) \times H^1 $ ノルムにおける誤差の最適収束速度が、非線形近似クラスにおける最適収束速度と等価であることが確認された。