[論文レビュー] Axion field theory approach and the classification of interacting topological superconductors

Yingfei Gu, Xiao-Liang Qi|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Topological Materials and Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、アキソン場理論のアプローチを用いて、$(3+1)$次元時空における相互作用的時間反転対称性をもつトポロジカル超伝導体（DIIIクラス）の $δ_{16}$ 分類を確立する。チャープ・ボルテックスと非チャープ・ボルテックス間のボルテックス交差過程における量子異常を分析することで、著者らはベリー位相異常が $ν = 16$ のときのみ消えることを示し、分類が $Т_{16}$ であることを示唆する。これは、高次元における他の場理論的およびトポロジカル不変量と整合的である。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the topological classification of time-reversal invariant topological superconductors. Based on the axion field theory developed in a previous work (Phys. Rev. B ${\bf 87}$ 134519 (2013)), we show how a simple quantum anomaly in vortex-crossing process predicts a $\mathbb{Z}_{16}$ classification of interacting topological superconductors, in consistency with other approaches. We also provide a general definition of the quantum anomaly and a general geometric argument that explains the $\mathbb{Z}_{16}$ on more general grounds. Furthermore, we generalize our approach to all $4n$ dimensions (with $n$ an integer), and compare our results with other approaches to the topological classification.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、$(3+1)$次元時空における相互作用的DIIIクラストポロジカル超伝導体の $δ_{16}$ 分類について、場理論的説明を提供することである。
• 電子相互作用が、特に明示的計算が困難な高次元において、自由フェルミオンの分類をどのように変更するかを理解することを目的としている。
• 著者らは、$d+1=4n$次元へのアキソン場理論の一般化を試み、普遍的な異常ベース分類を確立することを目的としている。
• さらに、アキソン場理論、非線形 $\sigma$-モデル、$\eta$-不変量の手法からの結果を統合し、異なる枠組み間で一貫性があることを示すことを目的としている。
• 本研究では、低エネルギー有効場理論に依存せずに、量子異常がトポロジカル不変量をどのように探査できるかを検討する。

提案手法

• 著者らは、Qi *et al.* (2013) で以前に開発されたアキソン場理論を用いて、トポロジカル超伝導体の電磁応答を記述する。
• 彼らは、タイプIIトポロジカル超伝導体におけるチャープ・ボルテックス線と非チャープ・ボルテックス線の間のボルテックス交差過程を分析する。
• 重要な技術的アプローチとして、アキソン位相 $\theta_L - \theta_R$ のチャープ回転中に得られる非自明なベリー位相を介して、量子異常を同定する。
• $(4+1)$次元的視点から、この異常は、$(4+1)$次元トポロジカル絶縁体スラブの表面における電荷ポンピングとして解釈され、1回のボルテックス交差あたり $\nu/8$ の電荷がポンピングされる。
• 著者らは、この異常論拠を $d+1=4n$ 次元に一般化し、$2n$ 個のボルテックス（1つはチャープ、残りは非チャープ）が交差する状況を考察する。その結果、$\mathbb{Z}_\nu$ 分類が得られ、$8k+4$ 次元では $\nu = 2^{(d+5)/2}$、$8k$ 次元では $\nu = 2^{(d+3)/2}$ となる。
• 非線形 $\sigma$-モデルおよび $\eta$-不変量の手法と比較した結果、すべての手法で完全に一貫性があることが判明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(3+1)$次元時空における相互作用的時間反転対称性をもつトポロジカル超伝導体のトポロジカル分類は何か？ また、電子相互作用は自由フェルミオンの $\mathbb{Z}$ 分類をどのように変更するか？
• RQ2 チャープと非チャープのボルテックス間のボルテックス交差過程における量子異常を、トポロジカル不変量 $\nu$ を探査するためにどのように利用できるか？
• RQ3 $d+1=4n$ 次元における $\mathbb{Z}_{16}$ 分類の一般化は何か？ また、これらの状況における臨界値 $\nu$ を決定づける要因は何か？
• RQ4 アキソン場理論の手法は、非線形 $\sigma$-モデルや $\eta$-不変量形式と比較して、トポロジカル超伝導体の分類においてどのように異なるか？
• RQ5 低エネルギー有効場理論に依存せずに、幾何的およびトポロジカル的議論のみを用いて、異常ベース分類を独立に導出できるか？

主な発見

• ボルテックス交差異常により生じるベリー位相は、$\nu = 16$ のときのみ消えるため、$\nu = 16$ が相互作用下で自明であることを示し、分類が $\mathbb{Z}_{16}$ であることを証明する。
• この異常は、アキソン場理論に依存しない幾何的議論によっても頑健に定義されており、有効場理論に依存せず $\mathbb{Z}_{16}$ 分類が確認されている。
• $d+1=4n$ 次元では、$\mathbb{Z}_\nu$ 分類が得られ、$d=8k+3$ の場合 $\nu = 2^{(d+5)/2}$、$d=8k+7$ の場合 $\nu = 2^{(d+3)/2}$ となる。これは次元に伴い指数関数的に増加する。
• アキソン場理論の結果は、$(4+1)$次元の電荷ポンピング図式によっても裏付けられており、1回のボルテックス交差あたり $\nu/8$ の電荷がポンピングされ、2単位の電荷が自明である。
• $\mathbb{Z}_{16}$ 結果は、非線形 $\sigma$-モデルの手法と $\eta$-不変量法ともに一致しており、$\mathbb{RP}^{4n}$ 多様体上での明示的計算によって示された。
• アキソン場理論、$\sigma$-モデル、$\eta$-不変量の3つの異なる手法の間で一致が得られたことは、相互作用的トポロジカル超伝導体における $\mathbb{Z}_{16}$ 分類の頑健性を強く裏付ける。