[論文レビュー] Axis-Parallel Right Angle Crossing Graphs

Patrizio Angelini, Michael A. Bekos+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべての交差エッジセグメントが軸に平行であるという制限を課したRACグラフの部分クラスである軸に平行な右角度交差（apRAC）グラフを導入する。0、1、2の曲げ数を持つapRACグラフの辺密度の上限・下限を確立し、最大次数8の任意のグラフが線形時間アルゴリズムにより2曲げapRAC図形に描けることを証明する。また、k ≤ 2のとき、apRACグラフは一般のRACグラフの真部分クラスであることが示され、2曲げRACグラフの既存の最良境界を10n − O(1)に改善する。

ABSTRACT

A RAC graph is one admitting a RAC drawing, that is, a polyline drawing in which each crossing occurs at a right angle. Originally motivated by psychological studies on readability of graph layouts, RAC graphs form one of the most prominent graph classes in beyond planarity. In this work, we study a subclass of RAC graphs, called axis-parallel RAC (or apRAC, for short), that restricts the crossings to pairs of axis-parallel edge-segments. apRAC drawings combine the readability of planar drawings with the clarity of (non-planar) orthogonal drawings. We consider these graphs both with and without bends. Our contribution is as follows: (i) We study inclusion relationships between apRAC and traditional RAC graphs. (ii) We establish bounds on the edge density of apRAC graphs. (iii) We show that every graph with maximum degree 8 is 2-bend apRAC and give a linear time drawing algorithm. Some of our results on apRAC graphs also improve the state of the art for general RAC graphs. We conclude our work with a list of open questions and a discussion of a natural generalization of the apRAC model.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、交差がすべて軸に平行なエッジセグメント間でのみ発生するという制約を課した、RACグラフの新しい部分クラスである軸に平行なRAC（apRAC）を形式化し、分析することである。
• apRACと一般のRACグラフの包含関係、特に曲げ数の異なる場合について調査する。
• k曲げapRACグラフの辺密度について、特にk = 0, 1, 2のときのタイトな上限・下限を確立する。
• 最大次数8のグラフに対して2曲げapRAC図形を構成する線形時間アルゴリズムを提示する。
• apRACをs個の異なる傾きに一般化し、その辺密度およびグラフ実現可能性への影響を検討する。

提案手法

• 著者たちは、交差に参加するすべてのエッジセグメントが軸に平行であり、かつ直角に交わる多角形線図形を許容するグラフとして、k曲げapRACグラフを定義する。
• 禁止構成を用いて0曲げapRACグラフの構造的性質を証明し、特定の三角形型および星型のエッジ配置が発生できないことを示す。
• 組合せ的議論と幾何的制約を用いて辺密度の上限を導出し、交差補題および二部グラフの交差グラフ性質を応用する。
• 0曲げapRACに対しては4n − 2⌊√n⌋ − 7本の辺を持つ下界グラフを構成し、2曲げapRACに対しては10n − O(1)本の辺を持つ下界グラフを構成することで、タイトさを示す。
• 直交グラフ分解とサイクルベースのポート割り当てを用いて、2曲げapRAC図形の線形時間アルゴリズムを開発する。
• モデルをs個の傾きのうち1つに平行または垂直なエッジセグメントを許容するs-apRACに一般化し、この制約下での辺密度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k = 0, 1, 2のとき、k曲げapRACグラフのクラスは、k曲げRACグラフの真部分クラスであるか？
• RQ2 n頂点のk曲げapRACグラフにおける辺数のタイトな上限・下限は何か？特にk = 0, 1, 2のとき。
• RQ3 最大次数8の任意のグラフは2曲げapRACグラフとして描けるか？また、そのような図形は効率的に計算可能か？
• RQ4 s個の許容傾きをもつk曲げs-apRACグラフの辺密度は、sの数に依存するか？特にs ∈ o(n)のとき。
• RQ5 apRAC制約のもとで2曲げRACグラフの辺密度境界は改善可能か？10n − O(1)にタイトにできるか？

主な発見

• 本稿では、0曲げapRACグラフが0曲げRACグラフの真部分クラスであることを証明し、K6から1本の辺を除いたグラフが最小の分離グラフであることを示す。
• 0曲げapRACグラフでは、辺密度が4n − √n − 6で上界され、4n − 2⌊√n⌋ − 7で下界され、低次の項を除いてタイトであることが示される。
• 1曲げapRACグラフでは、辺密度が線形関数で抑えられ、上界は小さな加法的定数の差を除いてタイトである。
• 2曲げapRACグラフでは、10n − O(1)本の辺を持つ下界グラフを構成し、一般の2曲げRACグラフの既存の最良境界7.83n − O(√n)を改善する。
• 本稿では、最大次数8の任意のグラフに対して2曲げapRAC図形を構成する線形時間アルゴリズムを提示する。
• s-apRACへの一般化により、2曲げs-apRACグラフの辺数に上限min{(6 + 4s)n − 12, 71.9n − O(1)}が得られ、s ≤ 17のとき、一般の2曲げRACグラフの境界を改善する。