[論文レビュー] Büchi complementation made tight

Sven Schewe|ArXiv.org|Feb 12, 2009

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、既知の下界 Ω((0.76n)^n) に一致する状態空間サイズを達成する Büchi 補集合生成アルゴリズムを提示する。これは二次的要因 O(n²) の範囲で、長年の上界と下界の差を埋めるものであり、状態数の指数的増加を抑えるためにレベルランク技術を精密化し、構成法を最適化することで、従来の手法に比べて指数的要因で改善され、多項式オーバーヘッドの範囲で Büchi 補集合生成の最適性を確立する。

ABSTRACT

The precise complexity of complementing Büchi automata is an intriguing and long standing problem. While optimal complementation techniques for finite automata are simple - it suffices to determinize them using a simple subset construction and to dualize the acceptance condition of the resulting automaton - Büchi complementation is more involved. Indeed, the construction of an EXPTIME complementation procedure took a quarter of a century from the introduction of Büchi automata in the early 60s, and stepwise narrowing the gap between the upper and lower bound to a simple exponent (of (6e)n for Büchi automata with n states) took four decades. While the distance between the known upper (O'(0.96 n)n') and lower ('(0.76 n)n') bound on the required number of states has meanwhile been significantly reduced, an exponential factor remains between them. Also, the upper bound on the size of the complement automaton is not linear in the bound of its state space. These gaps are unsatisfactory from a theoretical point of view, but also because Büchi complementation is a useful tool in formal verification, in particular for the language containment problem. This paper proposes a Büchi complementation algorithm whose complexity meets, modulo a quadratic (O(n2)) factor, the known lower bound for Büchi complementation. It thus improves over previous constructions by an exponential factor and concludes the quest for optimal Büchi complementation algorithms.

研究の動機と目的

• Büchi自動機の補集合生成における長年の上界と下界の差を埋めること。
• 既知の下界 Ω((0.76n)^n) に一致する状態空間サイズを持つ補集合生成アルゴリズムを開発すること。
• 複雑さの推定値における指数的ギャップを排除することで、従来の構成法を改善すること。
• 多項式要因 O(n²) の範囲で Büchi 補集合生成の最適性を達成すること。
• 以前の構成法が状態数のみを制御していたのに対し、状態数とエッジ数の両方を厳密に制御すること。

提案手法

• この手法は Kupferman-Vardi のレベルランク構成法に基づき、状態の爆発を最小限に抑えるためにタイトなランク付けを導入して精緻化する。
• S_j-タイトなレベルランクの新規構成法を導入し、補集合生成中の状態数の増加を最小限に抑える。
• 三段階の遷移関数を用いる：δ₁ は初期遷移を、γ₂ はレベルランクの伝搬を、γ₃ と γ₄ は最終状態の処理を担当する。
• 補集合自動機のサイズは O(s · tight(n+1)) で抑えられ、ここで tight(n) ≈ (0.76n)^n であり、二次的要因を除いて下界と一致する。
• 従来の手法が状態数のみを制御していたのに対し、この構成法ではエッジ数の制御も厳密に行う。
• 構造的性質と補集合自動機のグラフにおけるレベルランクの振る舞いを活用して、タイトネスを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Büchi 補集合生成は、既知の下界 Ω((0.76n)^n) に一致する状態空間サイズで達成可能か？
• RQ2 Büchi 補集合生成における上界と下界の指数的ギャップを排除することは可能か？
• RQ3 補集合自動機のエッジ数を、状態数のみを制御するのではなく、厳密に制御することは可能か？
• RQ4 タイトなレベルランクの使用により、多項式要因の範囲で最適な構成が可能か？
• RQ5 下界に一致する一方で、複雑さを O((0.96n)^n) にまで低減することは可能か？

主な発見

• 提案された補集合生成アルゴリズムは、O(tight(n+1)) ≈ O((0.76n)^n) の状態空間サイズを達成し、既知の下界 Ω((0.76n)^n) に二次的要因を除いて一致する。
• 従来の最良上界 O((0.96n)^n) よりも指数的要因で改善され、下界とのギャップが埋まる。
• 補集合自動機のエッジ数も、従来の手法が状態数のみを制御していたのとは異なり、厳密に制御される。
• この手法により、Büchi 補集合生成の複雑さが多項式要因 O(n²) の範囲で最適であることが確立され、数十年にわたる未解決問題が解決される。
• タイトネスは、補集合自動機のグラフにおけるレベルランクと無限走査の構造的解析により証明される。
• Yan (2008) が示した下界が鋭く、さらなる指数的改善は不可能であることが確認される。