[論文レビュー] Bäcklund Transformations and Loop Group Actions

Chuu-Lian Terng, Karen Uhlenbeck|ArXiv.org|May 18, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ZS-AKNS $sl(n,\mathbb{C})$-階層の解に対して、$S^2$ から $GL(n,\mathbb{C})$ への有理写像の局所的作用を構成し、単純な要素（線形分数変換）が局所的 Bäcklund 変換を生成することを示している。主な貢献は、$U(n)$-実性条件を満たす有理写像の部分群が、急速に減衰する解の空間に大域的に作用することを証明し、大域的で滑らかな Bäcklund 変換および明示的な周期的時間多ソリトンを生成することである。これにより、sine-Gordon 方程式に対する古典的 Bäcklund 理論が一般化された。

ABSTRACT

We construct a local action of the group of rational maps from $S^2$ to $GL(n,C)$ on local solutions of flows of the ZS-AKNS $sl(n,C)$-hierarchy. We show that the actions of simple elements (linear fractional transformations) give local Bäcklund transformations, and we derive a permutability formula from different factorizations of a quadratic element. We prove that the action of simple elements on the vacuum may give either global smooth solutions or solutions with singularities. However, the action of the subgroup of the rational maps that satisfy the U(n)-reality condition $g(\barł)^*g(ł)=I$ on the space of global rapidly decaying solutions of the flows in the $u(n)$-hierarchy is global, and the action of a simple element gives a global Bäcklund transformation. The actions of certain elements in the rational loop group on the vacuum give rise to explicit time periodic multi-solitons (multi-breathers). We show that this theory generalizes the classical Bäcklund theory of the sine-Gordon equation. The group structures of Bäcklund transformations for various hierarchies are determined by their reality conditions. We identify the reality conditions (the group structures) for the $sl(n,R)$, $u(k,n-k)$, KdV, Kupershmidt-Wilson, and Gel'fand-Dikii hierarchies. The actions of linear fractional transformations that satisfies a reality condition, modulo the center of the group of rational maps, gives Bäcklund and Darboux transformations for the hierarchy defined by the reality condition. Since the factorization cannot always be carried out under these reality condition, the action is again local, and Bäcklund transformations only generate local solutions for these hierarchies unless singular solutions are allowed.

研究の動機と目的

• ループ群作用を用いて、可積分系の古典的 Bäcklund 変換理論を一般化すること。
• さまざまな可積分階層における実性条件を通じて、Bäcklund 変換の群構造を理解すること。
• Bäcklund 変換が大域的滑らかな解を生成するか、特異解を生成するかを特定すること。
• 真空上での有理ループ群作用により、明示的な周期的時間多ソリトン解を構成すること。
• 分解および実性条件を用いて、さまざまなリー代数階層における Bäcklund 変換と Darboux 変換の理論を統一すること。

提案手法

• ZS-AKNS $sl(n,\mathbb{C})$-階層の局所解に対して、$S^2 \to GL(n,\mathbb{C})$ への有理写像の群の局所的作用を構成する。
• 有理ループ群に含まれる単純な要素（線形分数変換）が局所的 Bäcklund 変換を生成することを特定する。
• 二次元要素の異なる分解を用いて、Bäcklund 変換の交換性公式を導出する。
• $U(n)$-実性条件 $g(\bar{z})^*g(z) = I$ を課すことにより、$u(n)$-階層の急速に減衰する解の空間への大域的作用を保証する。
• 理論を応用して、真空上での有理ループ群要素の作用により、明示的な周期的時間多ソリトン（多ブレーザー）を構成する。
• 各階層における実性条件を分析することで、Bäcklund 変換の群構造を同定する。対象は $sl(n,\mathbb{R})$、$u(k,n-k)$、KdV、Kupershmidt-Wilson、Gel'fand-Dikii 階層である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分階層における Bäcklund 変換は、有理写像へのループ群作用を用いてどのように体系的に構成可能か？
• RQ2 有理ループ群要素の作用が、特異解ではなく大域的滑らかな解を生成するための実性条件は何か？
• RQ3 有理ループ群における分解は、Bäcklund 変換の交換性公式を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 Bäcklund 変換の群構造は、基礎となるリー代数階層の実性条件にどのように依存するか？
• RQ5 有理ループ群作用を真空上に適用することで、明示的な周期的時間多ソリトン解を生成可能か？また、その条件は何か？

主な発見

• 有理ループ群に含まれる単純な要素（線形分数変換）は、ZS-AKNS $sl(n,\mathbb{C})$-階層に対して局所的 Bäcklund 変換を生成する。
• 実性条件 $g(\bar{z})^*g(z) = I$ を満たす有理写像の部分群は、$u(n)$-階層の急速に減衰する解の空間に大域的に作用する。
• この大域的作用により、一般の場合に局所的で特異解を生成するのとは異なり、大域的で滑らかな Bäcklund 変換が得られる。
• 特定の有理ループ群要素の真空上への作用により、明示的な周期的時間多ソリトン（多ブレーザー）解が生成される。
• 実性条件を介して群構造を同定することにより、sine-Gordon 方程式に対する古典的 Bäcklund 理論が一般化された。
• さまざまな階層、$sl(n,\mathbb{R})$、$u(k,n-k)$、KdV、Kupershmidt-Wilson、Gel'fand-Dikii に対して、Bäcklund 変換の群構造はそれぞれの実性条件によって決定される。