[論文レビュー] B-metric spaces, fixed points and Lipschitz functions

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般化されたb-距離空間の完備性を確立し、b-距離空間および一般化されたb-距離空間における不動点定理を証明する。さらに、同調的型空間および擬バナッハ空間におけるリプシッツ関数の性質を分析し、非局所凸な擬バナッハ空間では標準的な平均値定理が成立しないこと、および導関数がほとんど everywhere で消える場合でさえも、リプシッツ関数が古典的意味での微分可能でないことがあることを示す。

ABSTRACT

The paper is concerned with b-metric and generalized b-metric spaces. One proves the existence of the completion of a generalized b-metric space and some fixed point results. The behavior of Lipschitz functions on b-metric spaces of homogeneous type, as well as of Lipschitz functions defined on, or with values in quasi-Banach spaces, is studied.

研究の動機と目的

• 一般化されたb-距離空間に対する完備性の存在を確立すること。
• b-距離空間および一般化されたb-距離空間における不動点定理を証明すること。
• 同調的型空間および擬バナッハ空間におけるリプシッツ関数の性質を研究すること。
• 非局所凸な擬バナッハ空間において、古典的微分可能性および平均値定理がなぜ失敗するかを調査すること。
• 適切なb-距離構造の下で、リプシッツ関数クラス Lip(β,q) とホルダー関数クラス Lip(β) の同値性を示すこと。

提案手法

• Frinkの距離化定理を用いて、λ-緩和三角不等式（λ ≤ 2）を満たすb-距離dから距離ρを定義する。
• 2点を結ぶすべての鎖の下界をとることで距離ρ(x,y) = inf ∑ d(xi−1,xi) を定義し、ρがdと同値であることを保証する。
• すべての一般化されたb-距離空間がコーシー列と同値類を用いて完備化可能であることを証明する。
• s-緩和三角不等式に適合した収縮写像原理を適応することで不動点結果を確立する。
• 球上での振動のLqノルムを用いて、同調的型空間上でのリプシッツ関数を分析する。
• 同調的型空間上にb-距離δを構成し、dに関するLip(β,q)関数がδに関してホルダー連続関数に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての一般化されたb-距離空間は完備化可能か？ もし可能であれば、その完備化はどのように構成されるか？
• RQ2 b-距離空間がどのような条件下で収縮写像に対して不動点を有するか？
• RQ3 同調的型空間上でのリプシッツ関数の挙動はいかなるものか？ また、新たなb-距離の下で、それらはホルダー連続性によって特徴付けられるか？
• RQ4 なぜ、非局所凸な擬バナッハ空間に値をとる関数に対して平均値定理が失敗するのか？
• RQ5 適切なb-距離構造の下で、リプシッツクラス Lip(β,q) とホルダークラス Lip(β) の関係は何か？

主な発見

• 一般化されたb-距離空間の完備化は存在し、コーシー列の同値類を用いて構成可能である。
• λ ≤ 2 を満たすb-距離空間において、鎖を介した下界で定義される関数ρは、dと同値な距離である。
• 同調的型空間上に、dに関するLip(β,q)関数がδに関してホルダー連続関数に対応するb-距離δが存在する。
• 非局所凸な擬バナッハ空間では、リーマン積分可能な導関数をもつ、かつ連続的に微分可能な関数が存在するが、その導関数がほとんど everywhere で消えてもリプシッツでないことがある。
• 構成されたb-距離δの下で、φ ∈ Lip(β,q) かつ ψ ∈ Lip(β) ならば、ノルム ‖φ‖β,q と ‖ψ‖β は同値である。
• 自明な双対をもつF空間では、x₀ から x₁ への曲線で、至るところ微分が0であるものが存在し、これは微分可能性が擬バナッハ空間においてリプシッツ連続性を意味しないことを示している。