[論文レビュー] Babuška-Osborn techniques in discontinuous Galerkin methods: $L^2$-norm error estimates for unstructured meshes

Emmanuil H. Georgoulis, Charalambos Makridakis+1 more|Leicester Research Archive (University of Leicester)|Apr 18, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、メッシュ依存ノルムにおける新しい安定性条件を導入することで、非構造的で、おそらくはグレーディングされたメッシュ上における対称内部ペナルティ不連続ガラーキン（dG）法の最適な $`\operatorname{L}^2`$-ノルム事前誤差推定を確立する。主な貢献は、$`\|u - u_h\|_{\operatorname{L}^2} \leq C\left(\sum_{K\in\mathscr{T}} h_K^4 \|D^2 u\|_{\operatorname{L}^2(K)}^2\right)^{1/2}\u0060$ の形をした誤差境界の証明であり、これは、グローバルな最大メッシュサイズに依存しないようにすることで、標準的な境界を改善し、適合型からdG法へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove the inf-sup stability of the interior penalty class of discontinuous Galerkin schemes in unbalanced mesh-dependent norms, under a mesh condition allowing for a general class of meshes, which includes many examples of geometrically graded element neighbourhoods. The inf-sup condition results in the stability of the interior penalty Ritz projection in $L^2$ as well as, for the first time, quasi-best approximations in the $L^2$-norm which in turn imply a priori error estimates that do not depend on the global maximum meshsize in that norm. Some numerical experiments are also given.

研究の動機と目的

• 非構造的で幾何的グレーディングされたメッシュ上における対称内部ペナルティdG法の最適な $`\operatorname{L}^2`$-ノルム事前誤差推定を導出すること。
• 未調整でメッシュ依存のノルムにおけるinf-sup安定性を確立することで、Babuška-OsbornフレームワークをdG法へと拡張すること。
• 局所化されたバブル関数技術を用いて、dG法における界面項や非適合ジャンプを取り扱う技術的課題を克服すること。
• 最適な準最適性を達成するために、$`\operatorname{L}^2`$ 誤差境界におけるグローバル最大メッシュサイズへの依存性を排除すること。
• 関数が $`\operatorname{H}^1`$ よりも高い正則性を必要としない条件下で、$`\operatorname{L}^2`$-ノルムにおける適応的dGスケームの収束解析を可能にすること。

提案手法

• 未調整な $`\operatorname{L}^2`$ および $`\operatorname{H}^2`$-に類似したメッシュ依存ノルムにおける内部ペナルティdG双線形形式の新しいinf-sup条件を導入する。
• 適合有限要素解析からの局所化技術をdG設定に適応し、非適合およびジャンプ項を取り扱えるようにする。
• 後験的解析における一致誤差を抑えられる、新しい $`\operatorname{H}^2`$-適合再構成作用素を用いる。
• 非適合設定における内部ペナルティ定式化に由来する界面項を制御するために、非標準的なバブル関数技術を用いる。
• メッシュ条件 $`\|\llbracket h\rrbracket / \{\!\{h\}\}\|_{\operatorname{L}^\infty(\Gamma_{\rm int})} \leq \alpha < 1\u0060$ の下で安定性を確立し、幾何的グレーディングメッシュを許容する。
• 従来の研究で用いられていた超近似の議論を回避することで、誤差境界における多項式次数の依存性を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dG法の最適な $`\operatorname{L}^2`$-ノルム誤差推定は、グローバル最大メッシュサイズに依存せずに導出可能か？
• RQ2 一般の非構造的メッシュ条件下で、Babuška-OsbornフレームワークをdG法へとどのように拡張できるか？
• RQ3 どのようなメッシュ条件が、dGスキームのメッシュ依存ノルムにおけるinf-sup安定性を保証するか？
• RQ4 非適合設定において、局所化されたバブル関数を用いてdG双線形形式の界面項を効果的に抑えられるか？
• RQ5 正則性仮定を $`\operatorname{H}^1`$ にまで緩和しても、$`\operatorname{L}^2`$ で最適収束を達成できるか？

主な発見

• 本稿は、メッシュグレーディング条件の下で、未調整なメッシュ依存ノルムにおける内部ペナルティdG法の新しいinf-sup条件を証明し、安定性を保証する。
• 形式 $`\|u - u_h\|_{\operatorname{L}^2} \leq C\left(\sum_{K\in\mathscr{T}} h_K^4 \|D^2 u\|_{\operatorname{L}^2(K)}^2\right)^{1/2}\u0060 の最適な $`\operatorname{L}^2`$-ノルム誤差推定が確立され、標準的な境界を改善する。
• 誤差境界はグローバル最大メッシュサイズ $h_{\max}$ に依存せず、適応的でグレーディングされたメッシュに適している。
• 解析は $`\operatorname{H}^1(\Omega)\u0060 の関数に対して成り立つため、$s > 3/2$ の $`\operatorname{H}^s\u0060$ 正則性の必要性を回避する。
• 超近似技術を回避することで、誤差境界における多項式次数 $k$ への依存性が改善される。
• 数値実験により、理論的収束率が確認され、グレーディングメッシュ上での推定の頑健性が検証された。