[論文レビュー] Baby PIH: Parameterized Inapproximability of Min CSP

Guruswami, Venkatesan, Andreas Emil Feldmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

VLSI and FPGA Design Techniques被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、k個の需要ペアを満たす双方向平面グラフ内の最小コスト有向ネットワークを求めるbi-DSNPlanar問題に対するパラメータ化近似スキーム（PAS）を提示する。このスキームは、任意のε>0に対して、f(ε,k)·n^O(1)時間で(1+ε)-近似を達成する。Gap-ETHのもとでこのスキームがタイトであることを証明し、多項式サイズの近似カーネル化スキーム（PSAKS）を確立し、より広範な一般化にはPASが存在しないことを示した。また、Gap-ETHのもとでStrongly Connected Steiner Subgraph（SCSS）問題に対して(2−ε)-近似不可能性を示し、bi-SCSSがkに関してFPTであることも示した。

ABSTRACT

The Directed Steiner Network (DSN) problem takes as input a directed edge-weighted graph G=(V,E) and a set {D}subseteq V x V of k demand pairs. The aim is to compute the cheapest network N subseteq G for which there is an s -> t path for each (s,t)in {D}. It is known that this problem is notoriously hard as there is no k^{1/4-o(1)}-approximation algorithm under Gap-ETH, even when parameterizing the runtime by k [Dinur & Manurangsi, ITCS 2018]. In light of this, we systematically study several special cases of DSN and determine their parameterized approximability for the parameter k. For the bi-DSN_Planar problem, the aim is to compute a planar optimum solution N subseteq G in a bidirected graph G, i.e. for every edge uv of G the reverse edge vu exists and has the same weight. This problem is a generalization of several well-studied special cases. Our main result is that this problem admits a parameterized approximation scheme (PAS) for k. We also prove that our result is tight in the sense that (a) the runtime of our PAS cannot be significantly improved, and (b) it is unlikely that a PAS exists for any generalization of bi-DSN_Planar, unless FPT=W[1]. Additionally we study several generalizations of bi-DSN_Planar and obtain upper and lower bounds on obtainable runtimes parameterized by k. One important special case of DSN is the Strongly Connected Steiner Subgraph (SCSS) problem, for which the solution network N subseteq G needs to strongly connect a given set of k terminals. It has been observed before that for SCSS a parameterized 2-approximation exists when parameterized by k [Chitnis et al., IPEC 2013]. We show a tight inapproximability result: under Gap-ETH there is no (2-{epsilon})-approximation algorithm parameterized by k (for any epsilon>0). To the best of our knowledge, this is the first example of a W[1]-hard problem admitting a non-trivial parameterized approximation factor which is also known to be tight! Additionally we show that when restricting the input of SCSS to bidirected graphs, the problem remains NP-hard but becomes FPT for k.

研究の動機と目的

• パラメータk（需要の数）でパラメータ化した場合のDirected Steiner Network（DSN）問題のパラメータ化近似可能性を調査すること。
• 特に解に構造的制約（例：平面性）がある特殊ケースのDSNに対して、効率的な近似スキームが存在するかどうかを特定すること。
• 標準的な複雑性仮定のもとで、既知の近似アルゴリズムと硬さ結果のギャップを埋めるために、タイトな近似不可能性境界を証明すること。
• すべての辺が逆方向の辺を備える双方向グラフが、一般の有向グラフと比較してDSNおよび関連問題においてより良い tractability をもたらすかどうかを検討すること。
• bi-DSNPlanarに対して多項式サイズの近似カーネル化スキーム（PSAKS）の存在を確立し、そのタイトさを分析すること。

提案手法

• 変数の割り当てと制約をエンコードするために、スーパーエッジと頂点ガジェットを用いた、3CSP問題からbi-DSNPlanarへの新規還元を設計する。
• 3種類の辺を持つグラフを構築する：(1) ソースから頂点ガジェットへの辺、(2) 頂点ガジェット同士の辺、(3) 頂点ガジェットからシンクへの辺。重みはそれぞれ1/(2ℓ)、1/(2ℓ)、0である。
• 確率的解析とホルダーの不等式を用いて、健全性の場合の被覆されたスーパーエッジの期待数を評価し、解のコストと元のCSPインスタンスの値を関連付ける。
• CSPにおける満たされる割り当てが、構築されたbi-DSNPlanarインスタンスでコストが正確に1の解をもたらすことを示して完全性を証明する。
• 平面構造上の動的計画法とカーネル化アプローチを組み合わせることで、bi-DSNPlanarに対するパラメータ化近似スキーム（PAS）を構築する。
• Gap-ETHに反するような高速化が可能でないことを示すことにより、PASのタイトさを証明し、その硬さをbi-DSNPlanarの一般化へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双方向グラフにおける平面解の最良コストと比較して、解のコストを評価するパラメータ化近似スキーム（PAS）が、bi-DSNPlanar問題に対して設計可能か？
• RQ2 提案されたbi-DSNPlanarのPASは、実行時間の観点で最適か、それとも標準的な複雑性仮定のもとで著しく改善可能か？
• RQ3 SCSS問題に対して(2−ε)-近似不可能性結果はGap-ETHのもとで成立するか？ また、既知の2-近似アルゴリズムはこの問題においてタイトか？
• RQ4 c < 2 である多項式サイズのc-近似カーネルが、bi-DSNに対して存在するか？ それとも現在のPSAKS構成が最適か？
• RQ5 現在の硬さ還元が平面性を保存しないことから、kに関して平面グラフ上のbi-DSNがFPTか、W[1]-hardか？

主な発見

• bi-DSNPlanarに対してパラメータ化近似スキーム（PAS）が存在し、任意のε>0に対してf(ε,k)·n^O(1)時間で(1+ε)-近似を達成する。
• PASの実行時間は、Gap-Exponential Time Hypothesis（Gap-ETH）に反する可能性があるため、著しく改善できない。
• Gap-ETHのもとで、bi-DSNPlanarのいかなる一般化に対してもPASは存在しない。これにより、結果のタイトさが確立される。
• bi-DSNPlanarに対して多項式サイズの近似カーネル化スキーム（PSAKS）が存在し、これは強力な構造的結果である。
• Strongly Connected Steiner Subgraph（SCSS）問題に対して、Gap-ETHのもとで(2−ε)-近似アルゴリズムはf(k)·n^O(1)時間内に存在しない。これにより、2-近似がタイトであることが証明される。
• 双方向グラフに制限した場合、SCSSは依然としてNP困難であるが、パラメータkに関して固定パラメータ可 tractable（FPT）となり、O(4^k·k^2)時間のアルゴリズムが得られる。