[論文レビュー] Bachet's Problem: as few weights to weigh them all

Edwin O’Shea|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、バシェの古典的釣り合い問題を一般化する。つまり、2つの皿の天秤を用いて1からmまでの整数の重さを測る最小の重りの集合を見つける問題である。その最小数は、m ≤ (3^{n+1}−1)/2 を満たす最小のnに一致する。解法は3の累乗の重りの重複を許した多重集合と、合計を完成させるための最終的な重りから構成され、2m+1の順序付き因数分解と部分完全分割の間の全単射を確立することで、整数分割と乗法的因数分解の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

A problem that enjoys an enduring popularity asks: "what is the least number of pound weights that can be used on a scale pan to weigh any integral number of pounds from 1 to 40 inclusive, if the weights can be placed in either of the scale pans ?" W.W. Rouse Ball attributes the first recording of this problem to Bachet in the early 17th century, calling it "Bachet's Weights Problem". However, Bachet's problem stretches all the way back to Fibonacci in 1202, making it a viable candidate for the first problem of integer partitions. Remarkably, given the age of Bachet's problem, an elegant and succinct solution to this problem when we replace 40 with any integer has only come to light in the last 15 or so years. We hope to expound on this generalization here armed only with our sharp wits and a willingness to induct. In doing so we will discover some of the joys of partitions of integers and enumerative combinatorics. This expository article, while of interest to researchers in combinatorics, integer partitions and the history of mathematics, is written with an impressionable undergraduate audience in mind.

研究の動機と目的

• 1から40までの整数を最小の重りで測るバシェのオリジナル問題を、任意の正の整数mに一般化すること。
• 重りを両方の皿に置くことができる場合に、1からmまでの任意の整数の重さを測るために必要な最小の重りの数を特定すること。
• 2m+1の順序付き因数分解とmの部分完全分割の間の全単射を確立することで、一般化された2皿釣り合い問題を解明すること。
• バシェの問題が整数分割の基礎的問題として長く軽視されてきたが、現代の数論においてもその意義を再評価し、認識を高めること。

提案手法

• 任意のmに対して、m ≤ (3^{n+1}−1)/2 を満たす最小のnを計算し、重りの集合W_m = {1, 3, 9, ..., 3^{n-1}, m − Σ_{i=0}^{n-1} 3^i} を定義する。
• 数学的帰納法を用いて、任意の整数l ∈ [0, m] が、係数が{−1, 0, 1}に属するW_mの重りの符号付き和として一意に表現可能であることを証明する。
• 各因数分解f₁×f₂×⋯×f_r を、累積積と(f_i−1)/2回の繰り返しを用いて構成される分割に写像することで、2m+1の順序付き因数分解とmの部分完全分割の間の全単射を確立する。
• 先行研究で得られた完全分割の構造を活用し、得られる分割が2完備であり、符号付き和において一意性が保たれることを示す。
• 母関数と再帰関係を用いて、与えられたmに対して異なる解の数を数え上げる。特に、mが(3^{n+1}−1)/2の形で表されない場合に注目する。
• 元のバシェの解（1+3+9+27=40）は、81=2×40+1の因数分解3×3×3×3に由来することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重りを両方の皿に置くことができる2皿天秤を用いて、1からmまでのすべての整数の重さを測るために必要な最小の重りの数は何か？
• RQ2 与えられたmに対して、バシェの問題を解くことができる異なる重りの集合はいくつあるか？また、それらの集合の構造はどのようなものか？
• RQ3 2m+1の順序付き因数分解とmの部分完全分割の間に全単射は存在するか？
• RQ4 3の累乗と残差重りに基づく体系的な構成によって、一般化されたバシェ問題を解くことができるか？
• RQ5 部分完全分割と2m+1の乗法的因数分解の間にはどのような関係があり、これはマクマホンのオリジナル結果をどのように一般化するのか？

主な発見

• 任意のmに対して、必要な最小の重りの数は、m ≤ (3^{n+1}−1)/2 を満たす最小のnに一致し、最適な重りの集合は{1, 3, 9, ..., 3^{n-1}, m − Σ_{i=0}^{n-1} 3^i} である。
• m = 25の場合、正確に9つの異なる解が存在し、それらすべてが1から25までの整数を一意に符号付き和で表現可能である4つの部分への分割である。
• mの部分完全分割は、2m+1の順序付き因数分解と一対一に対応しており、元のバシェの解（1+3+9+27）は81の因数分解3×3×3×3に対応する。
• この構成により、任意の整数l ∈ [0, m] が、係数α_i ∈ {−1, 0, 1} を持つ重りの符号付き和∑ α_i w_i として一意に表現可能であることが保証され、一意性と完全性が証明される。
• この方法はマクマホンの結果を一般化する：mの部分完全分割は2m+1の順序付き因数分解と全単射であり、その数はそれら因数分解の数に一致する。
• 本論文は、バシェの問題が歴史的にも重要であるだけでなく、整数分割、因数分解、多面体組合せ論と深いつながりを持つ数学的に豊かな問題であることを明らかにする。