[論文レビュー] Backstepping Transformation of Input Delay Nonlinear Systems

Delphine Bresch‐Pietri, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、未知の入力遅延を有する非線形系に対してバックステッピング変換を提示し、輸送PDEを用いて系の動的特性を再定式化することで、リャプノフ安定性解析を可能にする。この手法は、遅延推定に基づく予測子制御則を採用し、分布型入力を推定することで、遅延の不確実性に対してもグローバル指数的安定性を達成する。新規の変換により遅延の影響が分離され、ロバスト制御設計が可能となる。

ABSTRACT

We present here the details of a backstepping transformation aiming at reformulating the dynamics of a nonlinear systems subject to unknown long input delay in a form which is suitable for Lyapunov stability analysis. The control law underlying this transformation is predictor-based, as often considered for long delays. The proposed transformation follows recent results of the literature, based on the representation of the constant actuator delay as a transport Partial Differential Equation (PDE).

研究の動機と目的

• リャプノフに基づく手法を用いて、未知の長大な入力遅延を有する非線形系の安定化を図ること。
• 安定性解析に適した形に遅延付き系を再定式化する体系的なバックステッピング変換を開発すること。
• 分布型アクチュエータ状態が測定不能な場合に、遅延推定に基づく予測子制御則を導入することで対処すること。
• 入力遅延の不確実性がある状況下でも、閉ループ系のグローバル指数的安定性を保証すること。
• 確信性原理を用いて、予測子に基づく制御を遅延パラメータが未知の非線形系に拡張すること。

提案手法

• 入力遅延を未知の伝達速度を有する輸送PDEとしてモデル化し、遅延入力を[0,1]上での分布系として表現する。
• 時間微分可能な遅延推定を用いて分布型入力推定を構築し、リアルタイムでの適応を可能にする。
• 推定された入力にバックステッピング変換を適用し、新たな変数 $ \hat{w}(x,t) = \hat{u}(x,t) - \kappa(\hat{p}(x,t)) $ を定義する。ここで $ \hat{p} $ は状態の予測子推定値である。
• 制御則を $ U(t) = \kappa(\hat{p}(1,t)) $ として設計し、アクチュエータ端での推定状態を用いる。
• 変換により、$ X(t) $、$ \hat{w}(x,t) $、および推定誤差 $ \tilde{u}(x,t) $ の動的特性が、既知の構造を持つPDEによって結合されたターゲット系が得られる。
• 安定性解析は、状態、変換された入力、および推定誤差を考慮したリャプノフ関数の構築に依存し、PDEの動的特性から時間微分項が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の入力遅延を有する非線形系に対して、リャプノフ安定性解析を可能にするバックステッピング変換を構築できるか？
• RQ2 遅延の不確実性下で、測定不能な分布型入力をどのように推定し、予測子に基づく制御則に応用できるか？
• RQ3 遅延非線形動的特性にバックステッピング変換を適用した後の変換系の構造はどのようなものか？
• RQ4 遅延および入力の推定誤差は、閉ループ系の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 入力遅延の不確実性および測定不能な分布状態が存在する状況下でも、グローバル指数的安定性を達成できるか？

主な発見

• バックステッピング変換により、元の遅延付き非線形系が、リャプノフ解析に適した既知の構造を持つターゲット系に成功して変換された。
• 制御則 $ U(t) = \kappa(\hat{p}(1,t)) $ は、状態の予測子推定値に基づくが、与えられた仮定の下でグローバル指数的安定性を保証する。
• 変換系の $ \hat{w}(x,t) $ および $ \tilde{u}(x,t) $ の動的特性は、遅延推定値 $ \hat{D}(t) $、その微分、および系の非線形性に依存する係数を持つPDEによって支配される。
• 推定誤差 $ \tilde{u}(x,t) $ は有界であり、制御則の下で時間とともに減少することが示され、その動的特性は $ f_{\tilde{u}}(t) $、$ f_{dp}(t) $、および $ f_{du}(t) $ を用いて明示的に導出された。
• リャプノフ関数の時間微分が負定値であることが示され、遅延推定が十分に滑らかでかつノーマル系が指数的安定可能であるという条件下で、グローバル指数的安定性が証明された。
• 本手法は入力遅延の不確実性に対してロバストであり、安定性の証明が $ D \in [\underline{D}, \overline{D}] $、$ \underline{D} > 0 $ の範囲で成り立つ。