[論文レビュー] Backward bifurcation in SIRS malaria model

Miliyon Tilahun|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本研究は、免疫の消失を考慮したSIRSマラリア伝搬モデルを構築し、基本再生産数 $R_0 < 1$ の場合でも、無病平衡状態と安定なエンドミック平衡状態が共存する後退分岐が生じることを示した。主な発見は、マラリアに起因する死亡率を臨界閾値 ($\rho_h^*$) 未満に低下させることで、後退分岐を解消でき、結果として $R_0 < 1$ であっても疾病の根絶が可能になることである。これは、効果的な治療が制御戦略において極めて重要であることを示している。

ABSTRACT

We present a deterministic mathematical model for malaria transmission with waning immunity. The model consists of five non-linear system of differential equations. We used next generation matrix to derive the basic reproduction number $R_0$. The disease free equilibrium was computed and its local stability has been shown by the virtue of the Jacobean matrix. Moreover, using Lyapunov function theory and LaSalle Invariance Principle we have proved that the disease free equilibrium is globally asymptotically stable. Conditions for existence of endemic equilibrium point have been established. A qualitative study based on bifurcation theory reveals that backward bifurcation occur in the model. The stable disease free equilibrium of the model coexists with the stable endemic equilibrium when $R_0&lt;1$. Furthermore, we have shown that bringing the number of disease (malaria) induced death rate below some threshold is sufficient enough to eliminate backward bifurcation in the model.

研究の動機と目的

• 人間における免疫の消失を組み込んだ確定的SIRSモデルを、マラリア伝搬に応用し、モスキートのSIダイナミクスを含むモデルを構築すること。
• 無病平衡状態（DFE）の安定性を分析し、そのグローバル漸近的安定性の条件を確立すること。
• エンドミック平衡状態の存在と安定性を調査し、後退分岐の可能性を検討すること。
• 特に、マラリアに起因する死亡率の低減によって、後退分岐を解消できる条件を特定すること。
• これらのダイナミクスがマラリアの制御および根絶戦略に与える意味を評価すること。

提案手法

• 消失する免疫を考慮したSIRS人間およびSIモスキートのコンパートメントを表す5次元非線形常微分方程式系を定式化した。
• 次世代行列法を用いて基本再生産数 $R_0$ を導出した。
• リャプノフ関数理論とLaSalleの不変集合原理を適用し、$R_0 < 1$ の場合に無病平衡状態がグローバル漸近的に安定であることを証明した。
• Sotomayorの定理を用いた定性的な分岐解析により、$R_0 = 1$ における後退分岐の条件を確立した。
• 後退分岐を解消するための閾値 $\rho_h^*$ を導出した。この値は、疾病に起因する死亡率 $\rho_h$ が $\rho_h^* = \frac{\Lambda_h^2 \alpha_v^3 (\gamma_h + \alpha_h)}{\beta_v \Lambda_v - \Lambda_h^2 \alpha_v^3}$ 未満である場合に成立する。
• MATLABを用いた4次ルンゲ・クッタ法による数値シミュレーションを実施し、解析結果の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消失する免疫を伴うSIRSマラリアモデルにおいて、後退分岐が生じる条件は何か？
• RQ2 $R_0 < 1$ の場合でも、安定なエンドミック平衡状態が存在する中で、無病平衡状態が安定を保てるか？
• RQ3 マラリアに起因する死亡率は、後退分岐の発生または解消にどのような役割を果たすか？
• RQ4 後退分岐を防止し、結果として疾病の根絶を可能にする、疾病に起因する死亡率の閾値が存在するか？
• RQ5 死亡率を標的にした治療および干渉戦略は、マラリア伝搬の長期的ダイナミクスにどのように影響するか？

主な発見

• リャプノフ関数とLaSalleの不変集合原理を用いた証明により、$R_0 < 1$ の場合に無病平衡状態がグローバル漸近的に安定であることが示された。
• 係数 $a > 0$ が成り立つ場合、モデルのパラメータ（特に疾病に起因する死亡率を含む）に依存して、$R_0 = 1$ で後退分岐が生じる。
• $R_0 < 1$ であっても、安定な無病平衡状態と安定なエンドミック平衡状態が共存するため、$R_0 < 1$ であるだけでは疾病の根絶は十分ではない。
• 疾病に起因する死亡率 $\rho_h$ が閾値 $\rho_h^* = \frac{\Lambda_h^2 \alpha_v^3 (\gamma_h + \alpha_h)}{\beta_v \Lambda_v - \Lambda_h^2 \alpha_v^3}$ 未満に低下すれば、後退分岐は解消される。
• 数値シミュレーションにより、$R_0 < 1$ の場合に無病平衡状態の局所的およびグローバル安定性が確認され、高回復率および高免疫喪失率であっても、$R_0 > 1$ の場合には持続的なエンドミック伝搬が生じることが示された。
• $R_0 = 47.6631$ のモデルシミュレーションは、持続的なエンドミック伝搬を示し、$R_0$ が高いためにマラリアの制御が困難であることを強調している。