[論文レビュー] Backward errors and linearizations for palindromic matrix polynomials

Bibhas Adhikari|ArXiv.org|Dec 22, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$*$-パルミドロミックおよび$*$-アンチパルミドロミック行列多項式における近似固有要素の計算可能な構造的後向き誤差の表現を導出し、近似固有ペairを正確にする構造を保全する最小の摂動を特徴づける。また、固有値が単位円上にある場合、構造的線形化が後向き誤差にほとんど悪影響を及えないことを示し、フロベニウスノルムおよびスペクトルノルムの両方で、$√{2}$および$√{(m+1)/(2m)}$の境界が得られる。

ABSTRACT

We derive computable expressions of structured backward errors of approximate eigenelements of *-palindromic and *-anti-palindromic matrix polynomials. We also characterize minimal structured perturbations such that approximate eigenelements are exact eigenelements of the perturbed polynomials. We detect structure preserving linearizations which have almost no adverse effect on the structured backward errors of approximate eigenelements of the *-palindromic and *-anti-palindromic polynomials.

研究の動機と目的

• $*$-パルミドロミックおよび$*$-アンチパルミドロミック行列多項式における近似固有要素の構造的後向き誤差の計算可能な表現を導出すること。
• 変更された多項式において近似固有要素を正確にする最小の構造的保全摂動を特徴づけること。
• 近似固有要素の構造的後向き誤差に最小限の影響を与える構造的保全線形化を同定すること。
• 線形化が後向き誤差に与える影響を分析し、特に固有値が単位円上にある場合に注目すること。
• これらの構造的行列多項式に対する構造的保全アルゴリズムによって計算された固有要素の精度評価を支援すること。

提案手法

• 構造的保全摂動$\triangle\mathrm{P}$のノルムの最小値として構造的後向き誤差$\eta_M^\mathbb{S}(\lambda, x, \mathrm{P})$を定義し、$\mathrm{P}(\lambda)x + \triangle\mathrm{P}(\lambda)x = 0$を満たすようにする。
• $\mathbb{C}^{n \times n}$ 上のフロベニウスノルムおよびスペクトルノルムを用いて、摂動の大きさを測るノルム$|\!|\!|\cdot|\!|\!|_M$を定義する。
• 最小の後向き誤差を達成する$\triangle\mathrm{P}$の明示的表現を構築し、フロベニウスノルムでは一意性、スペクトルノルムでは非一意性を示す。
• 後向き誤差の元の多項式$\mathrm{P}$とその線形化$\mathrm{L}$との関係を、アンサツベクトル$v$および$\Lambda_{m-1} = [\lambda^{m-1}, \dots, \lambda, 1]^T$を用いて分析する。
• [3] よび類似の理論的結果（構造的後向き誤差解析）を$*$-パルミドロミックおよび$*$-アンチパルミドロミック構造に適用する。
• 残差$r = -\mathrm{P}(\lambda)x$とそのノルムを用いて、線形化形と元の形の間の構造的後向き誤差比の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $*$-パルミドロミックまたは$*$-アンチパルミドロミック行列多項式における近似固有要素の構造的後向き誤差の計算可能な表現は何か？
• RQ2 変更された多項式において近似固有要素を正確にする最小の構造的保全摂動は何か？
• RQ3 元の多項式の構造的後向き誤差とその構造的保全線形化の誤差はどのように比較できるか？
• RQ4 固有値が単位円上にある場合とそうでない場合とで、線形化が後向き誤差に与える影響は何か？
• RQ5 どの構造的線形化が$*$-パルミドロミック／アンチパルミドロミック多項式において後向き誤差に悪影響を最小限に抑えるか？

主な発見

• フロベニウスノルムでは、構造的後向き誤差を達成する最小摂動$\triangle\mathrm{P}$は一意であるが、スペクトルノルムでは無限に多くの摂動が存在する。
• $|\lambda| = 1$ のとき、線形化の構造的後向き誤差と元の多項式の誤差の比は、フロベニウスノルムおよびスペクトルノルムの両方で、$\sqrt{(m+1)/(2m)}$ から $\sqrt{2}$ の間で有界である。
• $|\lambda| \neq 1$ のとき、誤差比は残差$r = -\mathrm{P}(\lambda)x$と線形化の構造に依存し、$\|\widehat{r}\|_2$および$\|(1, \lambda)^T\|_2$を含む明示的境界が得られる。
• 固有値が単位円上にあるとき、線形化系$\mathrm{L}$の後向き誤差は、$\eta_F^\mathbb{S}(\lambda, \Lambda_{m-1} \otimes x; \mathrm{L}, v) \leq \sqrt{2} \cdot \eta_F(\lambda, x, \mathrm{P})$ を満たす。
• 単位円上にない固有値の場合は、$H$-パルミドロミック線形化か$H$-アンチパルミドロミック線形化かの選択は、それぞれ$\|r_p\|_2$または$\|r_{ap}\|_2$を最小化することによって行われるべきである。
• 分析により、固有値が単位円上にある場合、構造的線形化が後向き誤差にほとんど悪影響を及えないことが確認され、精度を保つ計算に最適であることが示された。