[論文レビュー] Backward Euler method for the Equations of Motion Arising in Oldroyd Fluids of Order One with Nonsmooth Initial Data

Deepjyoti Goswami, Amiya K. Pani|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない初期データを伴う1階の2次元Oldroyd流体モデルに後退オイラー法を適用した場合の、最適かつ一様有界な誤差推定値を提示する。記憶積分項を扱うために新規の解析技法を導入し、非線形項と積分項を分離するための線形化離散問題を中間解として用いることで、一意性条件のもとで時間に一様なL²ノルムにおける誤差境界を確立した。初期データの正則性に制限があるにもかかわらず、最適収束率を達成した。

ABSTRACT

In this paper, a backward Euler method is discussed for the equations of motion arising in the 2D Oldroyd model of viscoelastic fluids of order one with the forcing term independent of time or in $L^{\infty}$ in time. It is shown that the estimates of the discrete solution in Dirichlet norm is bounded uniformly in time. Optimal a priori error estimate in L2-norm is derived for the discrete problem with non-smooth initial data. This estimate is shown to be uniform in time, under the assumption of uniqueness condition.

研究の動機と目的

• 滑らかでない初期データを伴う粘弾性Oldroyd流体の文脈において、後退オイラー法の最適かつ一様有界な誤差推定値を導出すること。
• 記憶積分項と滑らかでない初期速度の存在下での時間に一様な誤差制御の課題に取り組むこと。
• 滑らかでないデータを伴う線形放物型積分微分方程式の手法を組み込むことで、既存のOldroydモデルの誤差解析を拡張すること。
• 滑らかでない初期条件であっても、時間に一様に有界なディリクレノルムにおける離散解の有界性を確立すること。

提案手法

• 2次元Oldroyd流体方程式に時間方向離散化として後退オイラー法を適用し、記憶積分項を含む。
• 空間離散化にはガレルキン有限要素法を用い、完全離散スキームを導出する。
• 誤差解析における非線形項と積分項を分離するために、中間解として線形化離散問題を導入する。
• 滑らかでない初期データに対処するため、標準的な一様グロワールlemmに代わる修正されたエネルギー推定技法を開発する。これは積分項の複雑さに起因する。
• 時間加算に重みを付ける技法と対数項を用い、滑らかでないデータに起因する最適でない収束を補償する。
• 非線形項に対して特別な取り扱いを施し、滑らかでないデータを伴う放物型積分微分方程式の理論から導かれる境界を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが滑らかでない場合に、Oldroyd流体モデルにおける後退オイラー法に対して、最適かつ一様有界な誤差推定値を導出できるか？
• RQ2 記憶積分項の存在が、後退オイラースキームの時間に一様な安定性および収束性にどのように影響するか？
• RQ3 滑らかでない初期データのもとで、時間に一様な誤差境界を達成するために、標準的な誤差解析技法にどのような修正が必要か？
• RQ4 初期データに正則性が欠如する場合でも、速度のL²ノルムにおいて最適収束率を維持できるか？
• RQ5 誤差が時間に一様に有界となる条件は何か？また、一意性条件はこの現象にどのように関与するか？

主な発見

• 滑らかでない初期データであっても、すべての時間において離散解がディリクレノルムで一様に有界であることが示された。
• 速度のL²ノルムにおける最適誤差推定値が得られ、時間離散化の収束率はO(k)である。
• 一意性条件が満たされていれば、誤差推定値は時間に一様に成り立つ。これは長期的安定性を保証する。
• 誤差定数は非線形項の影響により時間に対して指数関数的に依存するが、これは注意深く選ばれたエネルギー推定により補償されている。
• 修正されたエネルギー技法と中間線形化解の導入により、滑らかでない初期データであっても最適収束率を達成した。
• 最終的な誤差境界は、‖u(tₙ) − Uⁿ‖ ≤ C tₙ⁻¹/² k (1 + log(1/k))¹/² の形を取り、一意性仮定のもとで時間に一様に有効かつ最適である。