[論文レビュー] Backward propagation of chaos

Mathieu Laurière, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱く相互作用する粒子系に対して、カオス的な終端条件をもつ McKean-Vlasov 逆確率微分方程式（BSDE）でモデル化された、後向きのカオス伝播を確立する。標準的なリプシッツ連続性および可積分性条件の下で、経験測度が限界 McKean-Vlasov BSDE の分布に Wasserstein 距離で非漸近的収束速度を示し、次元に依存しない濃度不等式を導出する。これにより、Wasserstein 空間上の PDE の粒子ベースの近似が可能となる。

ABSTRACT

This paper develops a theory of propagation of chaos for a system of weakly interacting particles whose terminal configuration is fixed as opposed to the initial configuration as customary. Such systems are modeled by backward stochastic differential equations. Under standard assumptions on the coefficients of the equations, we prove propagation of chaos results and quantitative estimates on the rate of convergence in Wasserstein distance of the empirical measure of the interacting system to the law of a McKean-Vlasov type equation. These results are accompanied by non-asymptotic concentration inequalities. As an application, we derive rate of convergence results for solutions of second order semilinear partial differential equations to the solution of a partial differential written on an infinite dimensional space.

研究の動機と目的

• 初期状態ではなく、終端状態がカオス的であるような系への古典的カオス伝播理論の拡張。
• n 粒子系の経験測度が McKean-Vlasov BSDE の解に Wasserstein 距離で収束する定量的収束速度の確立。
• 相互作用粒子系の収束に関して、非漸近的濃度不等式（一部は次元に依存しないもの）の導出。
• 有限次元粒子系を用いた無限次元 Wasserstein 空間上における2次非線形 PDE の解の近似への応用。
• 後向き確率的表現と粒子系極限を用いた PDE 近似のための確率的枠組みの提供。

提案手法

• 粒子の相互作用を、系の経験分布を通じて記述する逆確率微分方程式（BSDE）でモデル化。
• Sznitman のカップリング技術を BSDE に適応し、BSDE の事前推定と測度濃度の議論を組み合わせる。
• 粒子過程の二乗差分に伊藤の補題を適用し、ヤングの不等式およびグロワールドの不等式を用いて誤差伝播を制御。
• n 粒子系の経験測度と McKean-Vlasov 極限の法則との間の Wasserstein 距離の境界を確立。
• Chassagneux らの結果を用いて、PDE の確率的表現公式を活用し、BSDE の収束と PDE 近似の関係を結ぶ。
• Bartl と Tangpi の結果を用いて、次元に依存しない濃度不等式を導出し、収束境界のロバスト性を向上。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く相互作用する粒子系において、カオス的な終端状態から時間的に後向きにカオスが伝播可能か？
• RQ2 このような系の経験測度が McKean-Vlasov BSDE の解に Wasserstein 距離で収束する非漸近的収束速度は何か？
• RQ3 特に次元に依存しないものも含め、相互作用する後向き粒子系の収束に関して濃度不等式を導出可能か？
• RQ4 後向きカオス伝播を用いて、無限次元 Wasserstein 空間上における半線形 PDE の解をどのように近似できるか？
• RQ5 収束速度および濃度境界は、状態空間の次元や粒子数にどの程度依存するか？

主な発見

• n 粒子系の経験測度は、$ C_{L_{F},T} imes ilde{ ho}_n $ で抑えられるレートで McKean-Vlasov BSDE の法に収束する。ここで $ ilde{ ho}_n $ は初期のカオス性を定量化し、$ n $ に依存する。
• プロセスおよび経験測度の両方について、Wasserstein 距離における非漸近的収束速度が導出され、リプシッツ定数および時間区間への明示的依存性を有する。
• 経験測度の収束に関して、関数不等式に基づく BSDE の性質を用いて、次元に依存しない濃度不等式を確立。
• 粒子系の価値関数が Wasserstein 空間上の PDE の解に収束するレートは、$ C_{L_{F},T} ( ho_n + r_{n,d,k,2}) $ で抑えられる。ここで $ r_{n,d,k,2} $ は経験測度におけるサンプリング誤差を捉える。
• 本研究の結果は、Buckdahn らおよび Hu らの先行研究の収束速度に関する知見を回復・強化し、関数不等式に基づく新規なアプローチを用いる。
• 本フレームワークにより、粒子系を介して無限次元 Wasserstein 空間上における2次非線形 PDE の解を有限次元 PDE に近似可能となる。確率的表現を活用する。