[論文レビュー] Backward Stochastic Differential Equations with no driving martingale, Markov processes and associated Pseudo Partial Differential Equations

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、駆動 martingale を持たない、一般のマーカフ過程によって駆動されるバックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）の新しいクラスを導入し、古典的半線形PDEを一般化する疑似PDEと関連付ける。主な貢献は、これらのマーカフ過程に基づくBSDEの解と、対応する疑似PDEの古典的解およびmartingale解との間の同等性を確立し、ブラウン運動に限らない一般のマーカフ過程へ古典的Pardoux-Peng枠組みを拡張することにある。

ABSTRACT

We discuss a class of Backward Stochastic Differential Equations(BSDEs) with no driving martingale. When the randomness of the driver depends on a general Markov process $X$, those BSDEs are denominated Markovian BSDEs and can be associated to a deterministic problem,called Pseudo-PDE which constitute the natural generalization of a parabolicsemilinear PDE which naturally appears when the underlying filtration is Brownian. We consider two aspects of well-posedness forthe Pseudo-PDEs: "classical" and "martingale" solutions.

研究の動機と目的

• 一般のマーカフ過程に適用可能な、駆動martingaleを伴わないバックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）の新しいクラスを構築すること。
• ブラウン運動の場合に現れる古典的半線形PDEを一般化する、疑似PDEと呼ぶ決定的PDE類似問題を定式化すること。
• 関連する疑似PDEの古典的解およびmartingale解と、マーカフ過程に基づくBSDEの解との間の同等性を証明すること。
• カレ・ドゥ・シャン作用素およびmartingale問題の定式化を用いて、古典的Pardoux-PengのBSDE-PDE双対性をブラウン運動に依存しない一般のマーカフ過程へ拡張すること。

提案手法

• 一般のマーカフ過程 $ X $ を用いた形式 $ Y^{s,x}_t = g(X_T) + \int_t^T f(r,X_r,Y^{s,x}_r, \sqrt{d\langle M^{s,x}\rangle/dV}(r)) dV_r - (M^{s,x}_T - M^{s,x}_t) $ のマーカフ過程に基づくBSDEを定式化する。
• BSDEを形式 $ a(u)(t,x) + f(t,x,u(t,x), \sqrt{\Gamma(u,u)}(t,x)) = 0 $ の疑似PDEと関連付ける。ここで終端条件は $ u(T,\cdot) = g $ であり、$ \Gamma $ はカレ・ドゥ・シャン作用素である。
• マーカフ過程 $ X $ を、決定的生成子 $ a $ を用いたマーチングル問題の定式化により定義し、法則に関するSDEの一般化を図る。
• クニタ＝ワタナーベ分解および角括弧分解を用いて、局所martingale $ M $ を $ M^V $ および $ M^{\perp V} $ に分解する。ここで $ V $ に対して直交する。
• $ \mathcal{H}^{2,V} $ および $ \mathcal{H}^{2,\perp V} $ が $ \mathcal{H}^2_0 $ の直交する部分ヒルベルト空間であることを確立し、martingale成分の分解を可能にする。
• 適切な正則性および可積分性条件の下で、疑似PDEの古典的解およびmartingale解の概念を用いて、解の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のマーカフ過程を用いた場合に、駆動martingaleを伴わないバックワードストキャスティック微分方程式をどのように定式化できるか。
• RQ2 ブラウン運動でないマーカフ過程を用いた文脈において、古典的半線形PDEの自然な一般化とは何か。
• RQ3 ブラウン運動のフィルトレーションに依存しない状況において、マーカフ過程に基づくBSDEの解を決定的問題（疑似PDE）とどのように関連付けることができるか。
• RQ4 古典的およびmartingale解の意味で、関連する疑似PDEの解の存在および一意性を保証する条件は何か。
• RQ5 カレ・ドゥ・シャン作用素 $ \Gamma(u,u) $ は、マーカフ過程に基づくBSDEおよびその決定的対応物において、どのように自然に現れるか。

主な発見

• 本稿は、マーカフ過程に基づくBSDEと疑似PDEとの間の双対性を確立し、古典的Pardoux-Pengの結果をブラウン運動を超えて一般化した。
• 十分な正則性が仮定される場合、マーカフ過程に基づくBSDEの解は、疑似PDEの古典的解に対応することが示された。
• より弱い条件下でも、疑似PDEのmartingale解の存在が証明され、古典的枠組みがより一般のマーカフ過程へ拡張された。
• 局所martingale $ M $ を $ M^V $ および $ M^{\perp V} $ に、$ V $ に対して直交する形で分解することは、解析の根幹を成し、BSDEの適切な定式化を保証する。
• カレ・ドゥ・シャン作用素 $ \Gamma(u,u) = a(u^2) - 2ua(u) $ は、疑似PDEにおける二次変動項として自然に現れ、古典的PDEにおける $ \sigma \nabla u $ の役割を一般化する。
• 本稿では、$ \mathcal{H}^{2,V} $ および $ \mathcal{H}^{2,\perp V} $ が $ \mathcal{H}^2_0 $ の閉じた直交する部分ヒルベルト空間であることを証明し、分解の一意性および解のフレームワークの安定性を保証した。