[論文レビュー] Backward stochastic variational inequalities under weak assumptions on the data

Lucian Maticiuc, Aurel Răşcanu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2008

Numerical methods in inverse problems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ドライバー F に局所有界性条件を課す弱い仮定のもとで、後向き確率的変分不等式の解の存在および一意性を確立する。確率解析および変分法を活用し、終端条件 η を満たす一意な適応解 (Y, Z) が不等式系を満たすことを証明する。

ABSTRACT

The paper deals with the existence and uniqueness of the solution of the backward stochastic variational inequality: \begin{equation} \left\{\begin{array} {l}-dY_{t}+\partial \varphi(Y_{t})dt i F(t,Y_{t},Z_{t})dt-Z_{t}dB_{t},\;0\leq t<T Y_{T}=\eta, \end{array} ight.\end{equation} where $F$ satisfies a local boundedness condition.

研究の動機と目的

• データに関する最小限の仮定の下で、後向き確率的変分不等式の解の存在および一意性を扱う。
• ドライバー F に対して標準的なグローバルリプシッツ性または単調性条件を緩和する。
• グローバル正則性仮定よりも弱い局所有界性条件の下で、問題の適切な定式化（well-posedness）を確立する。
• 後向き確率的微分方程式の理論枠組みを、より弱い可積分性および成長制約を課す変分不等式設定へと拡張する。

提案手法

• 変分不等式制約を表すために、部分微分作用素 ∂φ(Yt) を用いた後向き確率的微分方程式（BSDE）の定式化を採用する。
• ドライバー F(t, Yt, Zt) に対して局所有界性条件を課し、成長を制御し、可積分性を保証する。
• 伊藤の公式および事前推定を含む確率解析的手法を用いて、解成分のバインドを導出する。
• 解の終端値の2次可積分性を保証するために、終端条件 η ∈ L²(Ω) を課す。
• 変分不等式を標準的な BSDE の列に近似するために、ペナルティ法を用いる。
• ペナルティ付き解の収束を、元の不等式系を満たす極限に示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドライバー F に対してどの程度の最小限の仮定が、後向き確率的変分不等式の解の存在を保証するか？
• RQ2 F が局所有界性条件を満たす場合に、解の一意性を保証できるか？
• RQ3 部分微分作用素項 ∂φ(Yt) の構造が、解の可解性および正則性にどのように影響するか？
• RQ4 終端条件 η が、2次可積分な解の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 弱いデータ仮定のもとで、ペナルティ法のような近似法によって解を構成できるか？

主な発見

• 本稿では、ドライバー F に対して局所有界性条件を課したもとで、後向き確率的変分不等式の解が一意に存在することを証明する。
• 解は Y ∈ S²(0, T; ℝd) および Z ∈ H²(0, T; ℝd×m) を満たし、両成分の2次可積分性が保証される。
• F に対してグローバルリプシッツ性や単調性条件を要しないで、存在結果が成立する。
• 局所有界性制約の下では、ドライバー F の摂動に対しても解が安定する。
• ペナルティ法により、元の変分不等式の真の解に収束する近似 BSDE の解の列が得られる。
• 終端条件 η は L²(Ω) に属すると仮定されており、これは与えられた仮定のもとで解の存在を保証するのに十分である。